高中数学 基本不等式教学设计 新人教a版必修4

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1、教学设计§3.4.1基本不等式教学设计教学目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。教学重点应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点基本不等式等号成立条件教学过程1.课题导入（设计意图：通过教师对第24届国际数学家大会和对赵爽的介绍，引起学生对数学的热爱和学习数学的

2、兴趣。）基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b（a≠b）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．由于4个直角三角

3、形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有．2．得到结论：一般的，对于任意实数a,b，我们有，当且仅当a=b时，等号成立。3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：通过图形得到了不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程）证明：因为当所以，，即4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的，如果a>0,b>0,我们用

4、、分别代替a、b，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证(1)只要证a+b(2)要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（a+b-）（4）显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．3）理解基本不等式的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（设计意图：从不同的侧面理解不等式，培养学生一题多解的

5、意识）易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[补充例题]例1已知x、y都是正数，求证

6、：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：∵x，y都是正数∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)＝2即≥2.(2)x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.3.随堂练习（设计意图：通过练习熟悉基本不等式，初步学会它的一些应用。利用

7、不等式的证明来培养学生严谨的理性精神、数学习惯）1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2＞0b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.4.课时小结（设计意图：总结梳理本节课所讲的内容，使学生形成系统的认识，培养学生的归纳总结能力）本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b

8、的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.5.评价设计1）、体会基本不等式的几何解释。2）、课本第100页习题[A]组的第1题,第2题。一、引入事例6．板书设计五、小结1.定理及几何意