高中数学 空间向量与立体几何 板块二 空间向量的坐标运算完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版典例分析【例1】空间四边形中，，，则的值是（）A．B．C．D．【例2】已知，若三向量共面，则等于（）A．B．C．D．【例3】设、分别是平面的法向量，则平面的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定【例4】设，，，则使、、三点共线的条件是（）A．B．C．D．【例5】已知，，且与垂直，则的值为（）A．B．C．D．【例6】已知四面体中，两两互相垂直，给出下列两个命题：①；②．则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为（）A．①假、②假B．①真、②假C．①真、②真D．①假

2、、②真【例7】如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【例1】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面．为底面内的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（）【例2】已知，，则_______．【例3】若向量，确定平面的一个法向量，则向量在上的射影的长是________．【例4】设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是，且，，，那么______，_________．【例5】已知向量和不共线，向量，且，，则．【例6】已知点的坐标分别为，则向量的相反向量的坐标是_

3、_________．【例1】已知，若，则_____，______．【例2】已知向量，，若，则______，．【例3】若，，三点共线，则．【例4】已知向量，，若，垂直，则_____________．【例5】已知，，若，且，则_________．【例6】已知，，且与的夹角为，，，若，则_____．【例7】已知，，，且，则______．【例8】已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为___________．【例9】若，，点在轴上，且，则点的坐标为．【例10】已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【例11】已

4、知空间两个动点，则的最小值是_______．【例1】设，，且的夹角为，则_____，_______．【例2】若均为单位向量，且，则_______；【例3】已知，，，则．【例4】已知向量，，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°【例5】已知向量，，则与的夹角为_________；【例6】已知是空间中两两垂直的单位向量，，，则与的夹角为．【例7】已知向量，则与的夹角为_________．【例8】若，且，则与的夹角为________．【例9】若向量，，夹角的余弦值为，则_________．【例10】已知向量，若与成角，则_____．【例11】

5、已知向量，，且与互相垂直，则的值是_________．【例1】已知是空间中两两垂直的单位向量，，，则与的夹角为．【例2】已知，，，则向量与的夹角为________；【例3】设，，与垂直，，，则_____，______，．【例4】已知为原点，向量，则________．【例5】已知垂直正方形所在平面，，是的中点，．以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，则点的坐标为；又在平面内有一点，当点是时，平面．【例6】已知点，其中，求平面的一个法向量．【例7】已知空间三点，⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；⑵若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．【例8】

6、已知，，⑴求，，；⑵求与同时垂直的单位向量．⑶当实数的值为多少时，的模最小．【例9】已知点是平行四边形所在平面外一点，，，．⑴求证：是平面的法向量；⑵求平行四边形的面积．【例1】已知，求证：共面．【例2】已知，，，⑴求，；⑵问当实数的值为多少时，的模最小；⑶问是否在实数，使得向量垂直于向量；⑷问是否在实数，使得向量平行于向量．【例3】设向量，，试确定的关系，使与轴垂直．【例4】已知，且三点在同一直线上，求实数的值．【例5】在正方体中，求二面角的大小．【例6】已知，，，，⑴求线段、的长；⑵求证：这四点、、、共面；⑶求证：，；⑷求向量与所成的角．【例7】已知

7、，，，⑴求平面的一个单位法向量；⑵证明：向量与平面平行．【例8】已知，，，⑴求，；⑵计算：，，；⑶写出与向量平行的单位向量；⑷写出与向量同时垂直的，且长度为的向量；⑸当实数的值为多少时，．【例1】四棱锥中，底面是平行四边形，，，．⑴求证：平面．⑵求四棱锥的体积；⑶对于向量，，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与四棱锥的体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义．