高中数学4.2.3-1直线与圆的方程的应用 新人教a版必修2

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1、4、2、3直线与圆的方程的应用（一）【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点：直线的知识以及圆的知识教学难点：用坐标法解决平面几何.【教学过程】一、复习准备：(1)直线方程有几种形式?分别为什么?(2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3)求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?(5)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?二、讲授新课：提出问题、自主探究例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息

2、完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．方法一：在中R2=422+(R-15)2可求出半径R，而在中，∴，从而可求得长度。能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求长度看成的纵坐标。首先应建立坐标系。如何建系？四种不同的建系方案：分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤：(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建

3、立数学模型；(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；(4)还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．流程图：实际问题数学问题数学结论实际问题结论（审题）（建模）（解模）（还原）变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：例2、已知内接于圆P的四

4、边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。(1).思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？证明：（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，∵∠3=∠4∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2∵∠5=∠1+∠7，∠6=∠2+∠7∴∠5=∠6①又∵∠ACF=900且∠CHD=900∴CF∥BD②由①②可得四边形CFDB为等腰梯形∴

5、CB

6、=

7、FD

8、又∵

9、FD

10、=2

11、PE

12、

13、∴

14、BC

15、=2

16、PE

17、用“建系”这一新工具尝试证明：（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，.用勾股定理，，其中为中点；先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。设圆方程为(x-m)2+(y-n)2=r2，考虑到圆与轴交于、两点，令y=0，得关于的一元二次方程x2-2mx+(m2+n2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标，同理可得圆心的纵坐标。应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆

18、心的坐标。变式练习：设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？还能有什么其他发现？（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。．．．．．．课堂小结：（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；（2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一

19、种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论；【板书设计】一、指数函数1．定义2.图像3.性质二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】习题4.2B组的2、3、4题４.２.３直线与圆的方程的应用导学案（一）课前预习学案一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一