高中数学《正弦、余弦函数的性质》教案5 新人教a版必修4

高中数学《正弦、余弦函数的性质》教案5 新人教a版必修4

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1、正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)周期性[教学目标]一、知识与技能了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。二、过程与方法从自然界中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景(现实原型)的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念,再运用数学方法研究三角函数的性质,最后运用三角函数的性质去解决问题。三、情感、态度与价值观培养数学来源与生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。[教学重点]周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。[教学难点]周期函数的概念[教学工具]多媒体课件[设计思路]创设

2、情境,从自然界中的周期现象出发,通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念。在研究P点的圆周运动时,给出了y=f(t)的图象;并在研究了三角函数的周期后,给出了y=sinx的图象,让学生从图象上对函数的周期加深理解,让学生体会数形结合的思想。在讲解例2时,充分利用解方程的思想,让学生更易理解。[教学过程]一、创设情境每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。二、学生活动(P点的圆周运动)如图,点P自点A起,绕圆

3、周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是:A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A-B……显然点P的运动是周期运动。设圆的半径为2,每4分钟运动一周。设P到A的距离为y,运动时间为t,则y是t的函数,记为y=f(t).则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=……=0,(位置在A点)f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=……=4,(位置在C点)一般地,点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同,由此能得到这样的数学表达式:f(t+4)=f(t)想一想:f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系?说明它们的实际意义。[f(t+8

4、)=f(t)、f(t+12)=f(t),运行时间不等,但最终位置相同]可以用描点法画出这个函数的图象(如图)它的特征是:在区间(0,4)(4,8)(8,12)…内重复。我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。三、建构数学一般地,对于函数f(x),对定义域内的每一个x的值,每增加或减少一个不为零的定值T,函数值就重复出现,这个函数就叫做周期函数,即f(x+T)=f(x)。(一)、周期函数及周期的定义周期函数定义如下:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这

5、个函数的周期。前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……(二)、最小正周期的概念.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.注意今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期.显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函数的周期思考:正弦函数y=sinx是周期函数吗?即能否找到非零常数T,使sin(T+x)=sinx成立?[sin(2π+x)=sinx,sin(4π+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数,又根据周期的规定,它的周期T=2π(最小正值)]用几何画板展示周期函数y=sin

6、x的图象,使学生感知其特征。讨论:余弦函数y=cosx也是周期函数,并找出它们的周期。[周期分别是2π、π]四、数学运用例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。(1)求该函数的周期;(2)求t=10s时钟摆的高度。分析:周期可由两顶点间距离确定,此函数周期T=1.5;根据函数的周期性,f(10)=f(10-1.5)=f(10-2·1.5)=……=f(10-1.5k)(其中k为整数),直到10-1.5k=1或2.5为止,即f(10)=f(1)=20.解:(略)例2求函数f(x)=cos3x的周期。解:设周期为T.f(x)=cos3x=cos(3x+

7、2π),f(x+T)=cos3(x+T)由f(x)=f(x+T)得,3x+2π=3(x+T),解得T=2π/3.∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.注意:①运用了换元方法,u=3x;②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π;即cosu=cos(u+2π);③由于cos(3x+2π)=cos3(x+T)对任一x的值都成立,所以3x+2π=3(x+T);④f(x)=cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。尝试练习(1)求g(x)=2sin()的周期。(2)证明函数(其中为常数,且)的周期.结论:一般的,周期函数y=

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