高考数学一轮总复习 16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质教案 理 新人教a版

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1、16.2　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质典例精析题型一　切线的判定和性质的运用【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若＝，求的值.【解析】(1)证明：连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，所以OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，又OD为半径，所以DE是⊙O的切线.(2)过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝，设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，所以AH＝7x.由△AED≌△AHD可得AE＝AH

2、＝7x，又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝，所以＝.【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于点F.(1)求证：AF＝CF；(2)若ED＝4，sin∠E＝，求CE的长.【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO＝，所以∠ADF＋∠BDO＝，又因为在⊙O中OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝.在Rt△ABC中，∠A＋∠CBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.又在Rt△ABC中，直角边BC为⊙

3、O的直径，所以AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF.所以AF＝CF.方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD.又由BC为⊙O的直径可知，∠ADF＋∠FDC＝，∠A＋∠FCD＝，所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.所以AF＝CF.(2)因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.又FD＝3＝FC，所以CE＝2.题型二　圆中有关定理的综合应用【例2】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆

4、的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长.【解析】(1)连接AB，因为AC是⊙O1的切线，所以∠BAC＝∠D，又因为∠BAC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥EC.(2)方法一：因为PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·(PB＋9)，所以PB＝3.在⊙O2中，由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，所以PE＝4.因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.方法二：设BP＝x，PE

5、＝y.因为PA＝6，PC＝2，所以由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，即xy＝12.①因为AD∥EC，所以＝，所以＝.②由①②可得或(舍去)，所以DE＝9＋x＋y＝16.因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.【变式训练2】如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.(1)求PF的长度；(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.【解析】(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠CDE＝∠AO

6、C.又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，所以＝.由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF＝2－r＝1，即r＝1，所以OB是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝2.题型三　四点共圆问题【例3】如图，圆O与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.(1)求证：B、P、E、F四点共圆；(2)若CD＝2，CB＝2，求出

7、由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.又因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，所以B，P，E，F四点共圆.(2)因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2，所以由切割线定理CB2＝CD·CE，得CE＝4，DE＝2，BP＝1.又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EF∶PB＝CE∶