《计算方法word教案》word版

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1、计算方法第一章绪论§1.0引言§1.1数值算法概论(1)计算方法的研究内容、对象与特点(2)基本求解步骤§1.2预备知识、误差(1)误差的来源(2)误差分析、数值稳定性的分析和说明(3)误差的基本概念——绝对误差相对误差有效数字(4)数值算法24§1.0引言¨现代科学的三个重要组成部分:科学理论,科学实验,科学计算。它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学。¨科学计算的核心内容是以现

2、代化计算机以及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。¨出现了形如:计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学,计算地质学,计算经济学等许多新学科及其发展。并已形成一系列专门研究数学问题的数值解法的算法软件，如目前流行的数学软件主要有以下几种：符号运算软件：Mathematica,Maple矩阵处理软件：MatlabMatlab简介统计处理软件：SAS,Spss,Origin数学CAD软件：MathCAD等功能强大的著名数学软件。24§1.1数值算法概论§1.1.1计算方法的研究内容、对象与特点内容：(1)数值代数:求解线

3、性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。(2)数值逼近：插值和数值逼近，数值微分和数值积分。(3)方程求解：非线性方程、常微分方程、偏微分方程数值解法。对象：(1)计算方法是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；思维方法是归纳法，核心问题是“误差”或误差分析。(2)计算方法这门课程讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是数值结果。(3)计算方法这门课程已成为近代数学的一个重要分支。特点：(1)面向计算机将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算;(2)有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析

4、）。因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值的性态及数值方法的稳定性。(3)要有好的算法，并考虑计算复杂性（时间、空间）针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式。(4)要有数值试验24§1.1.2基本求解步骤实际问题建立数学模型构造数值算法编程上机计算结果说明：(1)数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。在数学模型中，往往包含了若干参量如物体比重、阻力系数、热交换系数等，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定的

5、误差。(2)在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。(3)算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。评价算法的两个主要标准：计算速度和计算精度，此外，还有计算存贮量等。一个面向计算机,计算复杂性好,又有可靠理论分析的算法就是一个好算法.计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和

6、空间复杂性(指占用存储单元多少)。对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"计算方法"中介绍的Gauss消元法求解，其乘除法运算次数只需3060次，这说明选择算法的重要性。当然有很多数值方法事先不可能知道其计算量，故对数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性。作为基本要求希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，对加深算法的理解是极有好处的。例1.1：计算多项式

7、的值。算法1由计算出后再计算。说明：需乘法6次，加法3次，存储单元7个。24算法2计算。说明：需乘法3次，加法3次，存储单元7个。例1.2：计算n次多项式的值。算法采用：秦九韶算法(1247)(又称为Horner算法(1819))计算。说明：需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。上述秦九韶算法的结构是递归的，它通过一次式的反复计算，逐步降低多项式的次数，直到归结为零次式为止。若以多项式的次数（或项数）定义为求值问题的规模，则秦九韶算法的特点是，在递归计算的过程中问题的规模逐次减1。例1.3：计算在某点的值。数学上有如下算法:算法(1)算

8、法(2)显然：算法（1）的计算量N=63次乘法；由于算法（2）中，故计算量N=11次乘法。算法（2）比算法（1）好。24§1.2预备知识和误差§1.2.1误差的来源实际问题è建立数学模型è研究