2018年高考数学二轮复习考前专题四数列推理与证明第4讲推理与证明讲学案理

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1、第4讲　推理与证明1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．热点一　归纳推理1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．2．归纳推理的思维过程如下：→→例1　(1)(2017·日照市模拟)给出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，…，请从中归纳出第n(n∈N*)个等式：＝________.n个根号答案　2cos解析　因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列

2、，公比为，角满足，所以＝2cos.(2)(2017·山西省大同市灵丘豪洋中学模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第15个图形中小正方形的个数是________．答案　120解析　∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n将等式进行累加得an＝⇒a15＝120.思维升华　归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题

3、的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练1　(1)(2017届陕西省咸阳市二模)观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n个不等式是__________________．答案　＋＋…＋<解析　不等式左边共有n项相加，第n项是，不等式右边的数依次是，，，，…，.(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．答案　503　解析　按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图

4、有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.热点二　类比推理1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．2．类比推理的思维过程如下：→→例2　(1)(2017届江西省鹰潭市模拟)我们知道：“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A(－1,0,0)，B(1,0,0)，则点集{P(x，y，z)

5、

6、PA

7、－

8、PB

9、＝1}在空间

10、中的轨迹描述正确的是(　　)A．以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B．以A，B为焦点的椭球体C．以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D．以上都不对答案　C解析　由特殊到特殊进行类比推理可得：点集{P(x，y，z)

11、

12、PA

13、－

14、PB

15、＝1}在空间中的轨迹描述正确的是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面．故选C.(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为_______________

16、___．答案　－＝1解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为－＝1，－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.思维升华　类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．跟踪演练2　(1)(2017·哈尔滨师范大

17、学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________.答案　解析　由题设可得＝＝＝＝(其中θ是射线PL与平面PAB所成的角)．(2)已知双曲正弦函数shx＝和双曲余弦函数chx＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数