高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象学习导航学案新人教b版必修1

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1、2.1.4函数的奇偶性-2.1.5用计算机作函数的图象自主整理1.函数的奇偶性(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D且g(-x)=g(x),则称g(x)为偶函数.(2)分类:根据函数奇偶性的定义,函数可分为:①是奇函数但不是偶函数;②是偶函数但不是奇函数;③是奇函数又是偶函数;④既不是奇函数也不是偶函数.(3)图象的对称性质:①如果一个函数是奇函数,则这个函数

2、的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.②如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.2.用计算机图形技术作函数图象的指令步骤(1)给自变量x赋值;(2)给出计算法则,求对应的y值;(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;(5)通过这些点集描出函数的图象.注意:只要函数

3、的表达式已知,就能画出函数的图象.高手笔记1.在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.2.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,那么一定有f(0)=0.这个结论可以当作一个定理来使用.但要注意,反之结论是不成立的.3.存在有既奇且偶的函数,例如f(x)=.当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时,容易产生“非奇非偶”的错觉,万万不可草率下结论.4.设f(x)、g(x)的定义域分别是D1、D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,

4、奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.5.奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0

5、即x是定义域内任意的,不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2,x∈(-2,2],f(-1)=f(1),f()=f(),f(2)虽然存在,但f(-2)无定义,故f(-2)=f(2)不成立,所以此时f(x)是无奇偶性的.(2)定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)等于f(x)或-f(x).(3)通过对定义归纳出函数奇偶性的以下几个性质,从而完整地认识函数的奇偶性:①对称性:奇偶函数的定义域关于原点对称;②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都

6、必须成立;③可逆性:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;④等价性:f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;⑤可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.2.应如何判断函数奇偶性?剖析:(1)根据函数奇偶性定义判断,其基本步骤为:①先看定义域是否关于原点对称,若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据,如果一个函数的定义域关于坐标原点

7、不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.如函数f(x)=x4+1,x∈［-1,2］.由于它的定义域不关于原点对称,当1

8、论.(2)定义域关于原点对称,满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数既是奇函数也是偶函数,如f(x)=0(x∈R)、f(x)=0(x∈［-2,2］)、f(x)=0(x∈(-1,1))等,应注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与-x的所在范围,及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性