2019年高考数学总复习 课时作业（七十）第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式 理

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1、课时作业(七十)　第70讲　不等式的证明、柯西不等式与均值不等式基础热身1.(10分)[2017·石家庄模拟]已知函数f(x)=

2、x+1

3、+

4、x-5

5、的最小值为m.(1)求m的值;(2)若a,b,c均为正实数,且a+b+c=m,求证:a2+b2+c2≥12.2.(10分)[2017·衡水中学三模]已知实数a,b满足a2+b2-ab=3.(1)求a-b的取值范围;(2)若ab>0,求证:++≥.能力提升3.(10分)[2017·巢湖模拟]已知函数f(x)=

6、2x-1

7、+

8、x+1

9、.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较

10、a-1

11、+

12、a+1

13、,,-2a的大小.4.(10分)已知函数

14、f(x)=

15、x+5

16、-

17、x-1

18、(x∈R).(1)解关于x的不等式f(x)≤x;(2)记函数f(x)的最大值为k,若lga+lg(2b)=lg(a+4b+k),试求ab的最小值.5.(10分)已知a,b为任意实数.(1)求证:a4+6a2b2+b4≥4ab(a2+b2);(2)求函数f(x)=

19、2x-a4+(1-6a2b2-b4)

20、+2

21、x-(2a3b+2ab3-1)

22、的最小值.6.(10分)[2017·安阳二模]已知函数f(x)=2

23、x+1

24、-

25、x-1

26、.(1)求函数f(x)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积m;(2)在(1)的条件下,若(a,b)(a≠b)是函数g(x)=图像上一点,

27、求的取值范围.难点突破7.(10分)[2017·武汉二模]已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=

28、x+a

29、-

30、x-b

31、+c的最大值为10.(1)求a+b+c的值;(2)求(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值,并求出此时a,b,c的值.8.(10分)[2017·昆明模拟]已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.(1)证明:

32、am+bn+cp

33、≤1;(2)若abc≠0,证明:++≥1.课时作业(七十)1.解:(1)∵f(x)=

34、x+1

35、+

36、x-5

37、≥

38、x+1-x+5

39、=6,∴m=6.(2)证明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c

40、2+b2≥2cb,∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc),∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,又m=6,∴a+b+c=6,∴a2+b2+c2≥12.2.解:(1)因为a2+b2-ab=3,所以a2+b2=3+ab≥2

41、ab

42、.①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;②当ab<0时,3+ab≥-2ab,解得ab≥-1,即-1≤ab<0.所以-1≤ab≤3,则0≤3-ab≤4,而(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab,所以0≤(a-b)2≤4,即-2≤a-b≤2.(2)证明:由(1)知0

43、b≤3,因为++-=-+=-+=-+=3=3≥0,当且仅当ab=2时取等号,所以++≥.3.解:(1)f(x)=根据函数f(x)的单调性可知,f(x)min=f=,所以函数f(x)的值域M=.(2)因为a∈M,所以a≥,所以0<≤1,

44、a-1

45、+

46、a+1

47、=a-1+a+1=2a≥3.-==,由a≥,知a-1>0,4a-3>0,所以>0,所以>-2a,所以

48、a-1

49、+

50、a+1

51、>>-2a.4.解:(1)当x≤-5时,由-(x+5)+(x-1)≤x得-6≤x≤-5;当-5

52、解集为{x

53、-6≤x≤-4或x≥6}.(2)易知k=6,则由lga+lg(2b)=lg(a+4b+k)⇒2ab=a+4b+6⇒2ab≥4+6⇒ab-2-3≥0⇒(-3)(+1)≥0⇒≥3⇒ab≥9,所以ab的最小值为9.5.解:(1)证明:a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)　=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2　=(a2+b2-2ab)2　=(a-b)4,因为(a-b)4≥0,所以a4+6a2b2+b4≥4ab(a2+b2).(2)f(x)=

54、2x-a4+(1-6a2b2-b4)

55、+2

56、x-(2a3b+2ab3-1)

57、=

58、2x-a4+(1-6a2b2-b4)

59、+

60、2

61、x-2(2a3b+2ab3-1)

62、≥

63、[2x-2(2a3b+2ab3-1)]-[2x-a4+(1-6a2b2-b4)]

64、=

65、(a-b)4+1

66、≥1,即f(x)min=1.6.解:(1)f(x)=2

67、x+1

68、-

69、x-1

70、=画出f(x)的图像(图略)可知,当f(x)=1时,x=0或x=-4,f(x)在x=-1时取得最小值-2,最小值对应的点为(-1,-2),所以围成的封闭图形为三角形,且三角形的底为4,高为3,所