高中数学 1.1.2 弧度制学案 新人教a版必修4 (2)

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1、1.1.2弧度制【学习要求】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.1．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做

2、1弧度的角，用符号表示，读作．2．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．4．角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈0.01745rad.(2)弧度转化为角度：2πrad＝；πrad＝；1rad＝°≈57.30°＝57°18′.探究点一弧度制问题11

3、弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0——r顺时针方向πr逆时针方向2πr顺时针方向逆时针方向r逆时针方向2r顺时针方向规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为

4、l，那么_______________________，即_________.问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．答一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是α＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝rad1rad＝°探究点

5、二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝，扇形面积公式为S扇＝.∵＝，∴l＝αr.∵＝＝，∴S扇＝αr2.∵＝＝，∴S扇＝αr2.问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝____l＝扇形的面积S＝___

6、___S＝______＝_____探究点三利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴y轴坐标轴问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合ⅠⅡⅢⅣ【典型例题】例1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成角度．解先将112°30′化为112.5°，然后乘以rad，即可将112°30′化成弧度，－乘以°即可化为角度．所以，

7、(1)112°30′＝112.5°＝°＝×＝.(2)－＝－×°＝－105°.小结将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．跟踪训练1将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)＝________度．例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，∴S

8、＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝＝rad＝2rad.所以当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.小结灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．跟踪训练2一个扇形的面积为1，