高中数学 2.3.1 等比数列学案 新人教b版必修5

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1、§2.3　等比数列2．3.1　等比数列自主学习知识梳理1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式：____________.3．等比中项的定义如果x、G、y成等比数列，那么G叫做x与y的____________，且G2＝________.4．对于正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则等比数列中am，an，ap，aq的关系是________________．5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即_________

2、___________(用数学式子表示)．自主探究首项为a1，公比为q的等比数列在各条件下的单调性如下表：a1a1>0a1<0q范围0101{an}的单调性对点讲练知识点一　等比数列通项公式的应用例1　已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．总结　等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．变式训练1　已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.知识点二　等比数列性质的应用例2　已知{an}为等比数列．(1)若an>0，a2a4＋2

3、a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．总结　在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．变式训练2　设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．知识点三　等比数列的判断与证明例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．总结　利用等比数列的定义＝q(q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．变式训练

4、3　设Sn为数列{an}前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量，已知其中三个量可求得第四个.课时作业一、选择题1．如果－1，a，b，c，－9

5、成等比数列，那么(　　)A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－92．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)A．16B．27C．36D．813．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为(　　)A.B.C．2D．34．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为(　　)A.B.C.D.5．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为(　　)A．－2B．－3C．2D．3二、

6、填空题6．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．2．3.1　等比数列知识梳理1．2　比　公比2．an＝a1qn－13．等比中项　xy4．am·an＝ap·aq5.＝q,(n∈N*)自主探究递减　常数列　递增　递增　常数列　递减对点讲练例1　解　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝

7、.解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.变式训练1　解　由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知得，⇒⇒将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.由②得或当a1＝1，q＝2时，an＝2n－1；当a1＝4，q＝时，an＝2