高中数学 生活中的优化问题举例学案 新人教a版选修1-1

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1、3.4．生活中的优化问题举例【学习目标】1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【重点难点】▲重点：掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，▲难点：构建函数模型，求函数的最值.【学法指导】观察、探究、数形结合。【知识链接】复习1：函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________复习2：函数在上的最大值为_____；最小值为_______.【学习过程】知识点1：优化问题仔细阅读课本第101页内容，尝试解答下列问题

2、：问题1：生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点2：知识点的应用题型一：面积、容积最大（小）问题仔细阅读课本第101页例1，尝试解答下列问题：例1.在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？反思：利用导数解决优化问题的实质是.题型二：费用、用料最省问题例2.如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为，为使所用材料最省，底宽应为多少？题型三：利润最大问题仔细阅读课本第102页例2，尝试解答下列问题：例3..某制造商

3、制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例4．已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润最大？分析：利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格．由此可得出利润与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．【基础达标】1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2．当圆柱形金属饮料罐

4、的表面积为定值时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？3.一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.(1)试把方盒的容积表示为的函数.(2)多大时，方盒的容积最大？4．一条长为100的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？5.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用.房间定价多少时，宾馆利润最大？【归纳小结】1．解决最优化的问题关

5、键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.3.解决优化问题与应用传统知识解应用题的唯一区别是：解题过程中需运用导数求出函数的最值.4.在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考虑问题的实际意义.解决优化问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程.【知识拓展】牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.【当堂检测】1.以长为10的线段AB为直径为圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A．10B．15C．25D．502.

6、设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．3.某商品在最近30天的价格与时间（天）的函数关系是，销售量与时间的函数关系是，则这种商品的销售多额的最大值为（）A．406B．506C．200D．5004.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72，其底面两邻边长之比为，则它的长为，宽为，高为时，可使表面积最小.5.做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为课后反思