高三数学 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件复习学案

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1、四川省古蔺县中学高三数学复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判

2、断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否

3、命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则p＋m=q＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m=q＋n，则p=q，m=n(假)．原命题：“已知p、q、m、n∈R，若p≠q，m≠n，则p＋m≠q＋n”(假)逆否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m≠q＋n，则p≠q或m≠n”(真)注，否命题“若p

4、≠q，m≠n”应理解为“p≠q或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n，②p=q但m≠n，而不含p≠q且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q，m=n．”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“p≠q或m≠n”．〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆

5、”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋

6、d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断①若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形

7、面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若，则p是q的必要条件；注：ⅰ“q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．ⅱ③若且，p是q的充要条件；④⑤p是q的必要而不充分条件．⑥（2）利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若若，则p是q的充分不必要条件；若若，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析〖例1〗“”是“直线相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不

8、充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B；解析：当时两直线斜率乘积