高中数学 1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念导学案 新人教a版选修2-2

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1、青海师范大学附属第二中学高中数学1.1.1-1.1.2变化率问题导数的概念导学案新人教A版选修2-2[学习要求]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[学法指导]导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为___________，简记作：________①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处

2、的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即______＝_____①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的____________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝＝___________________.引言　某市2012年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们

3、无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2012年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一　平均变化率的概念问题1　气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2　高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h

4、(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？①0≤t≤0.5，②1≤t≤2.问题3　什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题4　平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意义？例1　已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．跟

5、踪训练1　(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当

6、Δx

7、越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？探究点二　函数在某点处的导数问题1　物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？、问题2　如何描述物体在某一时刻的运动状态？问题3　导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？例2　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．跟踪训练2　求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．例3　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶

8、等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．跟踪训练3　高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．[达标检测]1．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足(　　)A．Δx<0B．Δx>0C．Δx＝0D．Δx≠02．函数f(x)在x0处可导，则(　　)A．与x0、h都

9、有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)24．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.