高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3 导数的实际应用课后导练 新人教b版选修1-1

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1、3.3.3导数的实际应用课后导练基础达标1.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)A.6B.8C.10D.12解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V=x(48-2x)2(0

2、底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为(　　)A.B.C.rD.r解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，因为h=令S′=0，得x=,h=r.当x∈(0,)时，S′>0；当

3、=x2+.∴V′==0.∴x3=4V，即x=.又当x∈(0,)时y′<0，x∈(,V)时，y′>0，∴当x=时，表面积最小.答案：C4.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)A.10B.15C.25D.50解析：如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ×2×5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ，故Smax=25.答案：C5.函数f(x)=x3-3x(

4、x

5、<1)(　　)A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D.无最大值

6、，但有最小值答案：C6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为x米，则长为米.因此新墙总长度L=2x+(x>0),则L′=2-.令L′=0，得x=±16.∵x>0,∴x=16.当x=16时，L极小值=Lmin=64，∴堆料场的长为=32米.答案：32米和16米.7.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0,3］上的

7、最大值、最小值分别是________.答案：5，-158.函数y=sin2x-x,x∈［-,］的最大值是________，最小值是________.答案：,-9.将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解析：设弯成圆的一段长为x，另一段长为100-x，设正方形与圆的面积之和为S，则S=π()2+()2(0

8、=时S最小，此时S=所以截成圆的一段铁丝长为时，可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为10.货车欲以xkm/h的速度行驶，去130km远的某地.按交通法规，限制x的允许范围是40≤x≤100.假设汽油的价格为5元/升，而汽车耗油的速率是(2+)升/小时.司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解析：汽车运行的时间为小时，耗油量为升，耗油费用为2·元，司机的工资为14×元.故这次行车的总费用为y=5×∴y′=130由y′=0，得40≤x≤100内的唯一解为x=243≈

9、42km/h.∴最经济的车速为42km/h，最低费用为130×≈150(元).综合运用11.如图，一艘渔船停泊在距岸9km的A处，今需派人送信给距渔船3km处的海岸渔站C，若送信人步行速度为每小时5km，船速为每小时4km，问在何处上岸，可以使抵站的时间最省？［参考导数公式()′=·f′(x)］解析：设上岸点为D，BD=x,BC=15,AD=,所用时间t(x)=∴t′(x)=解得x=12.∴15-x=15-12=3km.∴上岸点在距渔站3km处.12.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等

10、的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大.解析：设被切去的全等四边形的一边长为x，如图，则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为x,∴正六棱柱的体积V=6×(1-2x)2×3x(00,V是增函数；当x∈(,）时V′<0，V是减函数.∴当x=时，V有最大值，此时