高中数学 第四章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则基础达标 湘教版选修2-2

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1、4．2.3　导数的运算法则1．已知f(x)＝sinx－cosx，则f′等于(　　)．A．0B.C.D．1解析　f′(x)＝cosx＋sinx，∴f′＝＋.答案　C2．函数y＝(5x－4)3的导数是(　　)．A．3(5x－4)2B．9(5x－4)2C．15(5x－4)2D．12(5x－4)2解析　已知函数由y＝u3和u＝5x－4复合而成．答案　C3．一点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(　　)．A.B.∪C.D.解析　∵y′＝3x2－1，∴tanα＝3x2－1≥－1.∴α∈∪.答案　B4．函数y＝x2sinx的导

2、数是________．答案　2xsinx＋x2cosx5．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.解析　∵f′(x)＝2(2x＋a)×2＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案　16．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线4x－y＝0平行．解　∵y′＝3x2＋1，根据导数的几何意义，曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝y′

3、x＝x0，即3x＋1＝4，∴x0＝±1.当x0＝1时，y0＝1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3；当x0＝－1时，y0＝－3，此时切线为y＋3

4、＝4(x＋1)，即y＝4x＋1.综上可得P点坐标为(1,1)或(－1，－3)．7．设y＝－2exsinx，则y′等于(　　)．A．－2ex(cosx＋sinx)B．－2exsinxC．2exsinxD．－2excosx解析　y′＝－2[ex(sinx)′＋(ex)′sinx]＝－2(excosx＋exsinx)＝－2ex(cosx＋sinx)．答案　A8．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(　　)．A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析　f(x)有意义的x取值为x>0

5、，f′(x)＝2x－2－＝＝.∴f′(x)>0的解集为{x

6、x>2}．答案　C9．若函数f(x)＝cos2，则f′＝________.解析　f(x)＝，f′(x)＝＝－3sin.∴f′＝－3sin＝0.答案　010．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.解析　y′＝aeax，y′

7、x＝0＝a.由题意知，a×＝－1，∴＝2.答案　211．(2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a，b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同

8、的切线l.求a，b的值，并求出切线l的方程．解　f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，∴f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0，∴∴a＝－2，b＝5.所以，所求切线的斜率为g′(2)＝1，切线方程为y－0＝1(x－2)，即x－y－2＝0.12．(创新拓展)(2011·课标全国)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b.解　f′(x)＝－.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，所以即∴a＝1，b

9、＝1.