高中数学 第6讲 函数与方程寒假课程学案 新人教版

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1、第六讲函数与方程一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．二、知识梳理：方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数把使成立的实数叫做函的零点.2.函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3.二次函数

2、的零点：二次函数．时，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．三、方法归纳：1、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理.四、课堂例题精讲：1.若函数的两个零点是2和

3、3，则函数的零点是________．答案：和解析：由题意，得，解得.∴，令，很容易得到其零点为和.2.求函数零点的个数为.答案：3解析：因，又显然有两个实数根，故共三个零点.3.已知的图象如图所示，今考虑，则方程①有三个实根；②当时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；③当时，恰有一实根；④当时，恰有一实根；⑤当时，恰有一实根．则正确结论的编号为　　　　.答案：①②解析：∵，，即，∴在内有一个实根．由图中知，方程在上只有一个实根，所以②正确；又∵，由图知在上没有实数根，所以③不正确；又∵，，即，所以在上必有一个实根，又，

4、∴在上也有一个实根．∴在上有两个实根，④不正确；由且在上是增函数，∴在上没有实根．∴⑤不正确．并且由此可知①也正确．4.若函数（且）有两个零点，则实数a的取值范围是.答案：解析：设函数且）和函数，则由函数（且）有两个零点，知函数且）与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，函数的图象过点，而直线所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.5.当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：（1）方程的两根都小于；（2）方程至少有一个实根小于．解析：（1）当时，满足题意．当

5、时，设.若要方程两根都小于1，只要综上，方程的根都小于1时，（2）设，若方程的两个实根都小于，则有若方程的两个根一个大于，另一个小于，则有，∴．若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为，∴，∴．综上，方程至少有一实根小于时，．6.已知二次函数和一次函数，其中，且，（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；（2）求线段在轴上投影长度的取值范围．解析：（1）∵，，∴，．由得，因为，所以两函数、的图象必交于不同的两点；（2）设，，则．∵，，∴，∴（，）．7.关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围．解析：

6、设，，①若在区间上有一解，∵，则应有，又∵，∴解得.②若在区间上有两解，则，即，解得由①②可知.五、课堂训练：1.已知函数有零点，则a的取值范围是___________．答案：解析：设，，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案.2.设全集为R，集合，集合关于x的方程的根一个在上，另一个在上}.求（ðRA）∩（ðRB）.解析：由，，即，∴ðRA又关于x的方程的根一个在上，另一个在上，设函数，则满足，∴．∴ð∴（ðRA）∩（ðRB）．3.设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间.解析

7、：令由题意可知故则因为∴，即方程有且仅有一根介于和之间.4.已知函数有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解析：∵有且仅有一个零点，即方程仅有一个实根．设，则.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴，当m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1（不合题意，舍去），∴2x＝1，解得x＝0符合题意．当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f（x）有两个零点或没有零点．∴这种情况不符题意．综上可知：m＝－2时，f（x）有唯一零点，该零点为x＝0.六、课后检测：1.如果二次函数有两个不同的零点，则的取

8、值范围是.2.若函数f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af（－2x）>0的解集是__________．3.若函数的零点个数为，则______.4.当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：（1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程的两根都在区间上；（3）方程的一个根在区间上，另