高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 3.1.2 不等式的性质学案 新人教b版必修5

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1、3.1.2　不等式的性质1．掌握不等式的性质．2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔______.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒______.(3)加法法则：a＞b⇔________.推论1　a＋b＞c⇒a＞______；推论2　a＞b，c＞d⇒a＋c＞______.(4)乘法法则：a＞b，c＞0⇒______；a＞b，c＜0⇒______.推论1　a＞b＞0，c＞d＞0⇒______；推论2　a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n＞1)；推论3　a＞b＞0⇒

2、＞(n∈N＋，n＞1)．在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【做一做1】已知a＞b，则下列各式中正确的个数是(　　)．①ac＜bc；②ac＞bc；③(a－b)c＞0.A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3【做一做2】已知a＞b，c＞d，e＞0，则a＋ce______b＋de(填“＞”或“＜”)．【做一做3】已知a＞b＞0，c＜0，则________(填“＞”或“＜”)．一、不等式的性质的应用误区剖析：使用不等式的性质时，一

3、定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式；(2)a＞b＞0，且c＞d＞0⇒ac＞bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值；(3)a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n＞1)及a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n＞1)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且n∈N＋，n＞1，否则结论就不成立．假设去掉b＞0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，就会出现32＞(－4)2的错误结论；又若去掉了“n∈N＋，n＞1”这个

4、条件，取a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．对于性质4的推论2和推论3，在n取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞b⇒an＞bn(n＝2k＋1，k∈N)，a＞b⇒＞(n＝2k＋1，k∈N)．(1)性质中的a和b可以是实数，也可以是代数式．(2)性质3是不等式移项法则的基础．(3)性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据．(4)若a＞b且ab＞0，则＜.若a＞b，且ab＜0，则＞，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．(5)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.(6)若a＞b＞0，

5、c＞d＞0，则＞.二、教材中的“？”在解一元一次不等式3x－2≤5x＋1的过程中，应用了不等式的哪些性质？剖析：不等式的解运用性质3x－2≤5x＋1－2x≤3移项：性质3的推论12x≥－3同乘－1：性质4x≥－同乘：性质4题型一判断真假【例1】下列命题中，一定正确的是(　　)．A．若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0B．若a＞b，b≠0，则＞1C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞dD．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性

6、质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型二应用不等式的性质证明不等式【例2】已知a，b为正实数，求证：＋≥＋.分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小．反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或n次方作差)——变形——确定符号——得出结论．其中，作差是依据，变形

7、是手段，确定差的符号是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里，关键的步骤是对差式的变形．题型三不等式性质的实际应用【例3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，根据题意知a＜b且≥10%，然后设同时增加的面积为m，得到a＋m＜b＋m，用比较法判断与的大小即可．反思：一般地，设a，b为正

8、实数，且a＜b，m＞0，则＞.利用这个不等式，可以解释很多现象，比如b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于