高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式自主训练 新人教b版必修5

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1、3.1不等关系与不等式自主广场我夯基我达标1.已知a＜0,-1＜b＜0,下列不等式成立的是()A.a＞ab＞ab2B.ab2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a思路解析:由于-1＜b＜0,所以0＜b2＜1a＜ab2＜0,且ab＞0,易得ab＞ab2＞a.本题也可以根据a,b的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=.答案:D2.“a＞0,b＞0”是“ab＞0”的…()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:由“a＞0,b＞0”可推出“ab＞0

2、”,反之,不一定成立,选A.答案:A3.如果loga3＞logb3,且a+b=1,那么()A.0＜a＜b＜1B.0＜b＜a＜1C.1＜a＜bD.1＜b＜a思路解析:∵a+b=1,a、b∈R,∴0＜a＜1,0＜b＜1.∵loga3＞logb3,∴.∴lga＜lgb.∴0＜a＜b＜1.答案:A4.若a=,b=,c=,则()A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜a＜c思路解析:易知a,b,c都是正值,==log89＞1,所以b＞a;=log2532＞1,所以a＞c.所以b＞a＞c.答案:C5.若f(

3、x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_____________.思路解析:f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1,显然大于0,所以f(x)＞g(x).答案:f(x)＞g(x)6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.解:设有糖水b克,其中含糖a克,再加入m克糖,则原来的糖水的浓度为×100%,加入m克糖后,糖水的浓度变为×100%.由事实可知糖水变甜,浓度增大,故×

4、100%＜×100%,答:当0＜a＜b,m＞0时,有＜.7.若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证:.思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据c＜d＜0,得-c＞-d＞0,所以a-c＞b-d＞0,再由倒数的性质和e＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较.证明:.8.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1＞0,a3=b3＞0,且a1≠a3,试比较a2与b2的大小.思路分析:根据等比与等差的性质,求出a2、b2,再利用作差法比较.解:设{an}的公比为q,{bn}的公差为d,则a

5、3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d.∵a3=b3,∴a1q2=a1+2d,即2d=a1(q2-1).∵a1≠a3=a1q2,∴q2≠1.∴q≠±1.∵a2-b2=a1q-(a1+d)=a1q-a1a1(q2-1)=a1(q-1)2＜0,∴a2＜b2.我综合我发展9.如果a＜0,b＞0,那么,下列不等式中正确的是()A.B.C.a2＜b2D.

6、a

7、＞

8、b

9、思路解析:如果a＜0,b＞0,那么＜0,＞0,∴,选A.其余三个选项可以举反例排除.答案:A10.若a、b、c∈R,a＞b,则下列不等式成立的是(

10、)A.B.a2＞b2C.D.a

11、c

12、＞b

13、c

14、思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然＞0,对不等式a＞b的两边同时乘以,得成立.答案:C11.已知a＞b＞0,试比较与的大小.思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.解法一:作差法:∴.解法二:作商法:∴.12.如果用记号min{p,q}表示p,q中的较小者,max{p,q}表示p,q中的较大者.设f(x)=min{x2-2x+6,x2+6x+5},g(x)=max{x2-x+

15、2,x},试比较f(x)和g(x)的大小.思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x的范围进行讨论,然后再作差比较大小.解:由于x2-2x+6-(x2+6x+5)=-8x+1,由此可知,当x＜时,x2-2x+6＞x2+6x+5.当x≥时,x2-2x+6≤x2+6x+5.所以而x2-x+2-x=x2-2x+2=(x-1)2+1＞0,所以x2-x+2＞x.所以g(x)=x2-x+2.(1)当x＜时,f(x)-g(x)=x2+6x+5-(x2-x+2)=7x+

16、3,所以当x=时,f(x)=g(x).当x＜时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x).当＜x＜时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x).(2)当x≥时,f(x)-g(x)=x2-2x+6-(x2-x+2)=-x+4,所以当x=4时,f(x)=g(x).当x＞4时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x).当≤x＜4时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x).13.已知a＞0,b＞0,且m,n∈N+,求证:am