2012中考数学压轴题 函数面积问题(一)

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1、2012中考数学压轴题函数面积问题(一)例1如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,1).过点(p>1)作x轴的平行线分别交曲线(x>0)和(x<0)于M、N两点.(1)求m的值及直线l的解析式;(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,当直线MN经过(0,2)点时,

2、图形中的三角形都是等腰直角三角形;△AMN和△AMP是两个同高的三角形,MN=4MP存在两种情况.思路点拨1.第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中.2.第(3)题把S△AMN=4S△AMP转化为MN=4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.满分解答(1)因为点B(2,1)在双曲线上,所以m=2.设直线l的解析式为,代入点A(1,0)和点B(2,1),得解得所以直线l的解析式为.(2)由点(p>1)的坐标可知,点P在直线上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M

3、的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.所以△PMB∽△PNA.图2图3图4(3)△AMN和△AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.当S△AMN=4S△AMP时,MN=4MP.①如图3,当M在NP上时,xM-xN=4(xP-xM).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.②如图4,当M在NP的延

4、长线上时,xM-xN=4(xM-xP).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.考点伸展在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?情形一,如图5,∠AMN=90°,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).情形二,如图6,∠MAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.不存在∠ANM=90°的情况.图5图6例2如图1,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,CB∥OA,OC=4,BC=3,OA=5,点D在边OC上,CD

5、=3,过点D作DB的垂线DE,交x轴于点E.(1)求点E的坐标;(2)二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点B和点E.①求二次函数的解析式和它的对称轴;②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方,满足S△CEM=2S△ABM,求点M的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”,拖动点M在抛物线的对称轴上运动,观察面积比的度量值,可以体验到,有两个时刻,面积的比值等于2.思路点拨1.这三道题目步步为赢,错一道题目,就要影响下一道的计算.2.点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方,要分两种情况讨论

6、,分别为点M在线段FB和FB的延长线上.因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长,因点M的位置不同而不同.满分解答(1)因为BC∥OA,所以BC⊥CD.因为CD=CB=3,所以△BCD是等腰直角三角形.因此∠BCD=45°.又因为BC⊥CD,所以∠ODE=45°.所以△ODE是等腰直角三角形,OE=OD=1.所以点E的坐标是(1,0).(2)①因为抛物线y=-x2+bx+c经过点B(3,4)和点E(1,0),所以解得所以二次函数的解析式为y=-x2+6x-5,抛物线的对称轴为直线x=3.②如图2,如图3

7、,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,点M的坐标为(3,t)..(ⅰ)如图2,当点M位于线段BF上时,.解方程,得.此时点M的坐标为(3,).(ⅱ)如图3,当点M位于线段FB延长线上时,.解方程,得.此时点M的坐标为(3,8).图2图3考点伸展对于图2,还有几个典型结论:此时,C、M、A三点在同一条直线上;△CEM的周长最小.可以求得直线AC的解析式为,当x=3时,.因此点M(3,)在直线AC上.因为点A、E关于抛物线的对称轴对称,所以ME+MC=MA+MC.当A、M、C三点共线时,ME+MC最小,△CE

8、M的周长最小.

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