2014届高三数学精品复习11 不等式的性质与证明

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1、2014届高三数学精品复习之不等式的性质与证明1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>ban>bn；当a<0,b<0时，a>ba2b2

2、a

3、>

4、b

5、。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由<2推得的应该是：x>或x<0，而由>2推得的应该是：00即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,∴g(x)∈(-,

6、0)∪(,+)；f(x)+3>30<<1b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a>b,c>d则a-d>b-c；④若a>b,则a3>b3；⑤若a>b,则⑥若aab>b2；⑦若a

7、a

8、>

9、b

10、；⑧若ab且,则a>0,b<0；⑩若c>a>b>0,则；其中正确的命题是。[迁移]若a>b>c且a+b+c=0，则：①a2>ab，②b2>bc，③bc

11、2，-）。上述结论中正确的是。2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。[举例]已知函数，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是：　　　　　　　　。解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3②由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得：≤c≤－2⑥由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13⑦，即≤f(3)≤13。错误的原因在于：当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的

12、1=a成立，此时，a=1，c=－2；当且仅当－4a－4c=8且4a+c=3时⑥式中的=c成立，此时，a=，c=；可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8∴7≤f(3)≤。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，c=－2时，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=，c=时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相

13、加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。[巩固]设正实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则+的最大值是：A．B．C．D．3．关注不等式

14、

15、x

16、-

17、y

18、

19、≤

20、x±y

21、≤

22、x

23、+

24、y

25、及其等号成立的条件；具体的：xy≥0

26、x+y

27、=

28、x

29、+

30、y

31、；xy≥0且

32、x

33、≥

34、y

35、

36、x-y

37、=

38、x

39、-

40、y

41、；xy≥0且

42、x

43、≤

44、y

45、

46、x-y

47、=

48、y

49、-

50、x

51、；xy≤0

52、x-y

53、=

54、x

55、+

56、y

57、；xy≤0且

58、x

59、

60、≥

61、y

62、

63、x+y

64、=

65、x

66、-

67、y

68、；xy≤0且

69、x

70、≤

71、y

72、

73、x+y

74、=

75、y

76、-

77、x

78、。[举例1]若m>0,则

79、x-a

80、

81、y-a

82、

83、x-y

84、<2m的A．充分而不必要条件，B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件。解析：

85、x-a

86、

87、y-a

88、

89、x-y

90、=

91、x-a+a-y

92、≤

93、x-a

94、+

95、y-a

96、<2m；而当m=4,x=9,y=2,a=2时，

97、x-y

98、=7<2m,但

99、x-a

100、=7>m,∴

101、x-a

102、

103、y-a

104、

105、x-y

106、<2m的充分而不必要条件,选A。[举例2]不等式

107、2x-log2x

108、<2x+

109、log2x

110、的解集为。解析：x>0，不等式

111、

112、2x-log2x

113、<2x+

114、log2x

115、等价于：

116、2x-log2x

117、<

118、2x

119、+

120、log2x

121、2xlog2x>0log2x>0x>1∴不等式的解集为（1，+)。[巩固1]a,b都是非零实数，下列四个条件：①

122、a+b

123、<

124、a

125、+

126、b

127、；②

128、a+b

129、<

130、a

131、-

132、b

133、；③

134、

135、a

136、-

137、b

138、

139、<

140、a+b

141、；④

142、

143、a

144、-

145、b

146、

147、<

148、a-b

149、；则与

150、a-b

151、=

152、a

153、+

154、b

155、等价的条件是：（填条件序号）。[巩固2]方程

156、

157、