2014高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）数学归纳法(理)

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1、第七节数学归纳法(理)[知识能否忆起]数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[小题能否全取]1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证(　　)A．n＝1　　　　　　　　　B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案：C　2．

2、(教材习题改编)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立　　　　B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：选B　因为n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等式成立．3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f

3、(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：选D　由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为________．答案：1＋2＋225．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．解析：当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋

4、＋…＋＋＋＋…＋则增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.答案：2k数学归纳法的应用(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．用数学归纳法证明恒等式典题导入[例1]　设f(n)＝1＋

5、＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．[自主解答]　(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当

6、n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．由题悟法用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法．以题试法1．用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.证明

7、：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明不等式典题导入[例2]　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意

8、的n∈N*，不等式··…·＞成立．[自主解答]　(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，∴＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·＞.①当n