2014高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）数列的综合应用

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1、数列的综合应用[知识能否忆起]1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．[小题能否全取]1．某学校高一、高二、高三共计2460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差

2、数列，则该校高二年级的人数是(　　)A．800　　　　　　　　　　B．820C．840D．860解析：选B　由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a－d，a，a＋d.则a－d＋a＋a＋d＝2460，解得a＝＝820.故高二年级共有820人．2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析：选B　设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，解得n≥7.

3、3．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有(　　)A．a3＋a9≤b4＋b10　　B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析：选B　a3＋a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为________．解析：由于凸n边形的内角和为(n－2)π，故n＋×＝(n－2)π.化简得n2－25n＋144＝0.解得n＝9或n＝16(舍去)．答案：95．设曲线y＝xn＋1

4、(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn＝________，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，与x轴交点的横坐标为xn＝1－＝，由an＝lgxn得an＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.答案：　－21.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数

5、列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．等差数列与等比数列的综合问题典题导入[例1]　在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数

6、列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.[自主解答]　(1)证明：∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a1>1，∴b1＝log2a1>0.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴解得∴Sn＝4n＋×(－1)＝.∵∴∴an＝25－n(n∈N*)．试比较(2)求出的Sn与an的大小．解：∵an＝25－n>0，当n≥9时，Sn＝≤0，∴n≥9时，an>Sn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，a7＝，a8＝，S1＝

7、4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn.由题悟法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．以题试法1．(2012·河南调研)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式

8、；(2)若