高中数学 第5课时 变换的不变量与特征向量教案 新人教a版选修4-2

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1、第五讲变换的不变量与特征向量一.特征值与特征向量【探究】1.计算下列结果：＝＝以上的计算结果与，的关系是怎样的？2.计算下列结果：＝＝以上的计算结果与，的关系是怎样的？【定义】设矩阵A＝，如果存在实数及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值。是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。（结合探究1、2说明，特征值与特征向量）【定理1】如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。其几何意义是什么？【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【应用】从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量。二、特征

2、值与特征向量的计算1.设A＝，求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【总结规律】一般的，矩阵A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。【应用】求A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【练习：P70】【第五讲.作业】1.设反射变换对应的矩阵为A，则下列不是A的特征向量的是（）A.B.C.D.2.下列说法错误的是（）A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值B.每个二阶矩阵均有特征向量C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线D.如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向

3、量。3.设，分别是恒等变换与零变换的特征值，则－＝4.投影变换的所有特征值组成的集合为5.矩阵的特征多项式为6.已知A是二阶矩阵，且A2＝0，则A的特征值为7.若0是矩阵A＝的一个特征值，则A的属于0的特征向量为8.已知1、2是矩阵A＝的特征值，则＝9.若向量是矩阵的一个特征向量，则m＝10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①②③11.已知向量是矩阵的一个特征向量，求m的值。12.设A＝，分别求满足下列条件的所有矩阵A：①是A的属于2的一个特征向量。②是A的一个特征向量。13.对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围。14设A是

4、可逆的二阶矩阵，求证：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，则1/是A－1的特征值。1.Ｄ　　2.Ｂ　　3.１　　4.｛0，1｝　　5.　　6.0　　7.　　8.　　9.１　　10.①或；②或③或　　11.ｍ＝012.①②　　13.－3≤ｍ≤2　　14.①有特征多项式证明；②，　　得征。