函数的单调性与导数(5)

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1、第三十八讲函数的单调性与导数一、引言1.函数单调性是高中阶段刻画函数变化的一个最基本的性质，采用“导数法”求单调区间能简化运算，优化解题思想，也是近年来高考的考查重点内容之一．2.考纲要求：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性（对多项式一般不超过三次）．3.考情分析：预测年高考对本专题内容的考查仍有研究导数图象与函数图象的问题，也有导数与解析几何、不等式、平面向量等知识综合的问题．二、考点梳理1．函数的单调性与导数：设函数在区间内可导，如果，那么函数在区间上是单调递

2、增函数；如果，那么函数在区间上是单调递减函数；如果，那么函数在这个区间内是常数函数．值得注意的是：应正确理解区间的含义，它必是定义域内的区间．2．用导数法确定函数的单调性的步骤是：（1）先求出定义域，再求出函数的导函数；（2）求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间．也可以利用数轴，采用“穿轴法”确定函数的单调区间：①确定的定义域；②求的导数；③求出在内的所有实根，再把函数的间断点（即在定义域内的无定义点）和各实数根按照从小到大的顺序排列起

3、来；④在数轴上把的定义域分成若干个小区间；⑤利用“穿轴法”观察在各小区间上的符号，从而判定在各个小区间上的增减性．三、典型例题选讲8例1（江苏）函数的单调减区间为　　．分析：显然用单调性的定义解决该题比较困难，所以应采用导数法求出单调增区间．解：.令，解得．所以的单调减区间为．归纳小结：（1）本题考查利用导数法解决函数的单调区间问题，把问题转化为解不等式问题，考查转化思想，对解决问题的灵活性有一定的要求；（2）当函数解析式为高次或分式、根式、对数等形式，或画函数图象很困难时，用导数法研究函数的单调性比

4、定义法更为简便，这也是高考命题的热点之一，因此要熟练掌握用导数法求单调区间的方法及步骤．例2（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）分析：由的图象可观察出在不同区间的符号，从而判断出在不同区间的单调性，因此可以根据的图象大致得到的图象．解：如图A、B、C三个图中两条曲线可分别作为和的图象，符合题意．对于D，若上一条曲线为的图象，则为增函数，不符合；若下一条曲线为的图象，则为增函数，也不符合．故选D．归纳小结：（1）本题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关

5、系，通过对的图象提炼函数的信息，考查数形结合思想和识图、用图的能力，以及分析问题、解决问题的能力．（2）应用导数信息确定原函数大致图象，是导数应用性问题的常见题型，关键是把握原函数图象在的图象与轴交点处的切线的斜率为，在不同区间的符号能判断出原函数的单调区间．例3（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（）A．　　　　　　B．8C．　　　　　　D．分析：由可以判断函数的符号，因此可以根据的单调性解决问题．解：因为，，则.设，则.所以在上单调递减函数．又因为，则，故.所以答案为C

6、．归纳小结：（1）本题考查了导数的单调性和不等式的基础知识，对公式的变形和灵活运用，知识的迁移能力能力等有一定的要求．（2）根据的符号判断的单调性是高考的考查重点内容之一，同时对不等式应用中简单的放缩法能根据问题的结论观察比较进行．例4（安徽）已知函数，讨论的单调区间．分析：本题考查了解析式含有参数的函数的导数问题，在转化为含参不等式时，要对参数进行合理地分类讨论．解：的定义域是，设，二次方程的判别式，①当，即时，对一切都有，此时在上是增函数；②当，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数；8③

7、当，即时，方程有两个不同的实根，．00单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．归纳小结：（1）含参解析式求导转化为解含参不等式问题是高考试题中的一种常见考题形式．本题考查了利用导数求函数的单调区间、含参不等式的解法等相关知识，还考查了对导数的基本的应用意识，分类与整合思想和对代数式的变形计算、求导能力；（2）用导数法解函数的单调区间的本质是求导，解不等式，对这两部分的知识在应用时谨慎，特别是要注意

8、符号问题，以免发生错误；（3）要注意的是：①求单调区间时，一定要先求函数的定义域，因为函数的单调区间是定义域的子集；②单调区间的描述，不能写成并集形式，如本题中的单调递增区间一定不能写成．例5已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围．分析：已知在区间上单调递增，则在此区间上一定有恒成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可．解：依定义，8则.若在上是增函数，则在上恒成立．即在区间上恒成立．令函数，由于的图象的对称轴为，开口向上的抛物线，故使在区间