函数的幂级数展开(1)

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1、中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:http://www.chinakao.cn教案函数的幂级数展开复旦大学陈纪修金路1.教学内容函数的幂级数(Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算能力。2.指导思想(1)函数的幂级数

2、(Taylor级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论,而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变。(2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函数的幂级数展开公式(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法,提高学生的实际计算能力,这

3、也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。3.教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f(x)在x0的某个邻域O(x0,r)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f(x)在x0的Taylor级数:(*)另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式:(1)f(x)=ex=+…,x∈(-∞,+∞)。(2)f(x)=sinx=+…,x∈(-∞,+∞)。(3)f(x)=cosx=+…,x∈(-∞,+∞)。要考试?上易考网!第6页共6页中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22

4、-89761734,89761570,网址:http://www.chinakao.cn(4)f(x)=arctanx=+…,x∈[-1,1]。(5)f(x)=ln(1+x)=+…,x∈(-1,1]。(6),α≠0是任意实数。当是正整数m时,f(x)=(1+x)m=1+mx++…++xm,x∈(-∞,+∞)即它的幂级数展开就是二项式展开,只有有限项。当不为0和正整数时,,其中=,(n=1,2,…)和。设函数f(x)在x0的某个邻域O(x0,r)中任意阶可导,要求它在O(x0,r)中的幂级数展开,一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体

5、实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法:1.通过各种运算与变换,将函数化成已知幂级数展开的函数的和。例1求在的幂级数展开。解利用部分分式得到,再利用(6)式(),得到,例2求在的幂级数展开。解,利用(2)式与(3)式,即得到要考试?上易考网!第6页共6页中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:http://www.chinakao.cn例2求关于变量的幂级数展开。解令则。利用(5)式,即得到2.对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。例4求在的

6、幂级数展开。解由于,利用逐项求导,即可得到例5求f(x)=arcsinx在的幂级数展开。解利用(6)式,可知当x(-1,1)时,===1+++…++…,对等式两边从0到x积分,利用幂级数的逐项可积性与=arcsinx,即得到arcsinx=x+,x∈[-1,1]。其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性,可用Raabe判别法得到。特别,取x=1,我们得到关于π的一个级数表示:=1+。3.对形如,的函数,可分别用Cauchy乘积与“待定系数法”。设f(x)的幂级数展开为,收敛半径为R1,g(x)的幂级数展开为,收敛半径为R2,则f(x)g(x)的幂级数展开

7、就是它们的Cauchy乘积:f(x)g(x)=()()=,要考试?上易考网!第6页共6页中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:http://www.chinakao.cn其中cn=,的收敛半径min{R1,R2}。当b0≠0时,我们可以通过待定系数法求的幂级数展开:设=,则()()=,分离x的各次幂的系数,可依次得到b0c0=a0c0=,b0c1+b1c0=a1c1=,b0c2+b1c1+b2c0=a2c2=,……一直继续下去,可求得所有的cn。例6

8、求exsinx的幂级数展开(到x5)。解exsinx=(+…)()=x++…,由

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