函数的奇偶性与周期性(2)

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1、2.3函数的奇偶性与周期性一、选择题1.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则()A.B.C.D.域为R,所以,且函数的图象关于对称,因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,,,所以,故选D.答案D2.已知定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(  ).A.-1B.0C.1D.2[来源:Z,xx,k.Com]解析 (构造法)构造函数f(x)=sinx,则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x),所以f(x)=sinx是一个满足条件的函数,

2、所以f(6)=sin3π=0,故选B.答案 B【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数,是解答抽象函数选择题的常用方法,充分体现了由抽象到具体的思维方法.3.下列函数中,既是偶函数,且在区间内是单调递增的函数是()A.B.C.D.答案 D4.若函数f(x)=为奇函数,则a=(  ).[来源:Z§xx§k.Com]A.B.C.D.1解析 (特例法)∵f(x)=是奇函数,∴f(-1)=-f(1),∴=-,∴a+1=3(1-a),解得a=.答案 A【点评】本题采用特例法,可简化运算,当然也可用奇函数的定义

3、进行解题,不过过程较为繁琐,若运算能力较弱容易出错.5.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则(  ).A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数解析 由已知条件对x∈R都有f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1)因此f(-x+3)=f[-(x-2)+1]=-f[(x-2)+1]=-f(x-1)=f(-x-1)=f(-x-2+1)=f(-(x+2)+1)=-f((x+2)+1)=-f(x+3),因此函数f(x+

4、3)是奇函数.答案 D6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)=(  )A.4.5B.-4.5C.0.5D.-0.5解析 ∵f(x+2)=-,∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x),∴f(x)周期为4,∴f(6.5)=f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=-0.5.答案 D【点评】本题采用直接法,所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理与计算来

5、得出题目的结论,然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果,直接求解.7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(  ).A.6B.7C.8D.9解析 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1或x=-1(舍去),又f(x)的最小正周期为2,∴f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0,∴y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交

6、点个数为7.答案 B二、填空题8.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2013)=________.[来源:Zxxk.Com]解析 法一 当x=1,y=0时,f(0)=;当x=1,y=1时,f(2)=-;当x=2,y=1时,f(3)=-;当x=2,y=2时,f(4)=-;当x=3,y=2时,f(5)=;当x=3,y=3时,f(6)=;当x=4,y=3时,f(7)=;当x=4,y=4时,f(8)=-;….∴f(x)是以6为周期的函数,∴f(201

7、3)=f(3+335×6)=f(3)=-.法二 ∵f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),∴构造符合题意的函数f(x)=cosx,∴f(2013)=cos=-.答案 -[来源:学+科+网]9.若函数f(x)=(a为常数)在定义域上为奇函数,则实数a的值为________.解析 f(-x)==f(x)+f(-x)===0恒成立,[来源:学科网]所以a=1或-1.答案1或-110.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=________.解析

8、 ∵f(x+5)=f(x)且f(-x)=-f(x),∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,故f(3)-f(4)=(-2)-(-1)=-1.答案 -111.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.解析 由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5

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