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1、积分的应用定积分的应用平面图形面积1、图形由,,及围成：.2、图形由,,及围成：,其中：.3曲线由参数方程给出时，在上所围图形的面积公式为4曲边扇形的面积由曲线及矢径所围成的曲边扇形的面积公式为例1求由,所围成的图形的面积.解：由得或..例2计算由曲线和直线所围成图形的面积解：解之得.则平面曲线的弧长光滑（即连续可微分的）曲线在区间[，]上的弧长公式为.曲线由参数方程给出，则在区间[，]上的弧长为.曲线由极坐标方程给出，则曲线上弧的长为.例计算曲线的弧长（如图7—5所示）解法1（对的积分）得，弧微分解法2（对的积分）从0到，则由0变到，而.由上可得弧长为旋转体的侧面积1函数在上绕轴旋转
2、的旋转体的侧面积公式为.2曲线绕轴旋转所成曲面的表面积公式.例1计算圆在上的弧段绕轴旋转一周所形成的球面的表面积解对曲线,应用公式得当时，则得半径为球的表面积公式如果平面曲线由参数方程给出，那么由它绕轴旋转所得旋转体的侧面积公式为.例2计算由星形线绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。解由曲线的对称性及公式得例3求抛物线绕轴、轴旋转所成曲面的表面积解（1）绕轴旋转所成曲面的表面积（2）绕轴旋转所成曲面的表面积旋转体的体积1、立体由绕轴旋转一周及,围成,其体积.2、若曲线=在上绕轴旋转所成的旋转体的体积为.例1求由绕轴旋转一周所成环体的体积解：本旋转体是由曲线及在区间上所围成图形绕轴旋转而
3、成的旋转体之差。即例2求摆线的一拱，，绕轴旋转所产生的旋转体的体积。解摆线的一拱，则平面截面积已知的立体体积立体在中每一点处的截面积为,其体积.例1一平面过半径为的园柱底中心，并与底面成夹角.计算平面截圆柱体所得立体的体积．解:..物理学上的应用1平面的重心:由曲线,和直线,所围成平面，且，设平面的密度是均匀的，而该平面的重心坐标为，则，.2.变力所作的功:设有一变力，其方向平行于轴，大小为.则在微小区间上变力对质点所作的微小功的近似值是则就是的功“元素”。所以在力的作用下，将质点从轴上的点移至点所作的功为3.液体的压力:如果垂直面积是由曲线与轴及两直线所围成的曲边梯形，则取距液面为，
4、高度为，宽为的矩形横条上所受的压力为压力元素为.于是整个垂直面积所受压力为例1求抛物线所围成图形面积的重心，面密度为常数解由重心横坐标公式得因图形关于对称，故重心必在对称轴上，即，所以重心为例2半径为米的圆板垂直浸入水中，圆板中心在水面下米处。试求板面所受的压力.解沿水面作轴，过圆板中心垂直向下为轴，建立坐标系，则圆板的周界方程为或。注意到=1及图形的对称性，则全板上所受的压力为（吨）微分法在几何上的应用:二重积分1二重积分的运算（1）直角坐标下二重积分的运算1）若为型区域，即，则2）若为型区域，即，则（2）极坐标下二重积分的计算若，则2曲面面积：设曲面S的方程：曲面S的面积公式例1求
5、圆锥在圆柱体内那一部分的面积.解：由题意即求曲面，的面积，由面积计算公式3平面薄板的重心：密度分布为的平面薄板D的重心坐标为.例1设薄片所占的闭区域为介于两个圆,()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。解由的对称性可知:所以4平面薄板的转动惯量：密度分布为的平面薄板D对坐标轴的转动惯量为；为点到的距离函数一般转动轴的转动惯量为.例1．求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面的中心轴的转动惯量.解：设，密度为，则.例2．求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量.解：设圆盘为，密度为，对y轴的转动惯量为.例3求密度均匀的圆环对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量．为圆环的质量.
6、解设圆环为，密度为,则，5平面薄片对质点的引力:设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。在闭区域上任取一个小的闭区域,是内的任一点,他的质量近似等于,于是薄片对质点的引力近似值为,引力的方向于向量一致,其中,为引力常数.于是三重积分1三重积分的计算（1）直角坐标下三重积分的计算法：若，则（2）柱面坐标系下三重积分的计算法：若，则（3）球面坐标系下三重积分的计算法：若，则2重心：设是密度为的空间物体，在上连续，因的质量为，对平面的静力矩为，由重心坐标的概念有，以分别表示的重心的各个坐标，应有，所以，，。例3求密度均
7、匀的上半椭球体的重心．解设椭球体由式，表示由对称性知==0，由前节的例5的结果，可得===.3转动惯量：质点对轴的转动惯量是质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积，即.当讨论空间物体的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体的密度函数为，它对轴的转动惯量为=，=，=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对原点的转动惯量为=.例1设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．解设球
