常微分方程数值解(2)

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1、第八章常微分方程数值解由常微分方程理论可知，我们只能求一些特殊类型的常微分方程。而实际上许多常微分方程求解非常困难。本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题：（8－1）从理论上讲只要方程中的连续且关于满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数L，使则常微分方程存在唯一解。微分方程数值解：就是求微分方程的解在一系列离散节点179处的近似值（i=1，2，…，n）称为由到的步长，通常取为常数h。求数值解，首先将微分方程离散化，常用方法有：（1）用差商代替微商若用向前差商代替微商，即（i=1，2，…，n）则得即（2）数值积分法利用数值

2、积分法左矩形公式=可得同样算法（3）用泰勒（Taylor）公式得离散化计算公式179§1欧拉（Euler）方法1.1欧拉方法对一阶微分方程（8—1），等分区间为份，，则由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式代入初值则得到数值算法：（i=1，2，…，n－1）（8－2）称其为欧拉方法。几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线。（如图）：179P0PiPi+1O1.2欧拉方法的误差估计定义1局部截断误差：假设为准确值，用某数值算法计算产生的误差179，称为该数值

3、算法的局部截断误差。定义2整体截断误差：准确解与数值解的误差，。设有二阶导数，由泰勒公式有：==所以=，（8－3）当h充分小时，欧拉方法的局部截断误差与h2是同阶无穷小，称其为一阶方法。定义3如果一数值解法的局部截断误差为，则称该算法为阶算法。1.3改进的欧拉方法179由微分方程数值解的三种基本构造方法知，若取不同的差商（如向后），不同的数值积分公式（如梯形公式），以及泰勒公式取前三项、四项等可得不同的算法。如果用梯形公式计算积分：（8－4）且=（8－5）由于此方程为的隐式方程，不易求解。一般将其与欧拉方法联合使用。可得算法（8－

4、6）（k=0，1，2，…；i=1，2，…，n－1）实际计算中，当比较小时，常取一次迭代后的近似值为179，于是有改进的欧拉方法（i=0,1,2,…,n-1）例1用欧拉方法和改进的欧拉方法求微分方程的数值解（取h=0.1）。解：由欧拉方法（8－2），得数值计算公式=＋0.1×计算结果如表8-1由改进的欧拉方法（8－6），得数值计算公式179计算结果如表8-2表8-1xi0.00.10.20.30.40.50.60.7yi1.00001.00691.02081.03911.06281.09231.12691.1643误差0.00000

5、.00370.00770.09930.01200.01510.01890.0222表8-2xi0.00.10.20.30.40.50.60.7yi1.00001.00331.01321.02921.05061.07731.10791.1422误差0.00000.00000.00000.00020.00200.01010.01220.0053例2用欧拉法、改进欧拉法求微分方程数值解（h=0.1）。解由欧拉方法（8－2），得数值计算公式=＋0.1由改进的欧拉方法（8－6），得数值计算公式179计算结果如下表8-3（Euler）（改进E

6、uler）00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.00001.00001.10001.20091.30431.41181.52461.64431.77221.91002.05912.22131.00001.10051.20271.30831.41901.53621.66141.79651.94302.10302.278200.00050.00180.00400.00720.01150.01720.02430.03310.04390.0569§2龙格－库塔（R

7、unge－Kutta）方法2.1泰勒展开法179由于欧拉方法为一阶方法，为了提高算法的阶，有必要讨论更高阶的方法。在泰勒展开式中取更多的项，如取p＋1项可得p阶算法。其中）可用复合函数求导法则计算。如p=2时得二阶泰勒方法2.2龙格－库塔法为了避免计算高阶导数龙格－库塔方法利用某些点处的值的线性组合构造计算公式，使其按泰勒公式展开后与初值问题解的泰勒展开式比较，有尽可能多的项相同。龙格－库塔法的一般形式为：（8－7）179下面以二阶龙格－库塔法为例说明龙格－库塔法的构造过程。（8－8）将K2在处按泰勒公式展开，则＋==另一方面=所

8、以为使局部截断误差的阶尽可能高，应使179方程组有无穷多组解，取定参数则得到许多具体的二阶龙格－库塔公式。如取=，=1则得龙格－库塔法即改进的欧拉公式。同理可得更高阶的龙格－库塔法。常用的四阶（经典）龙格－库塔法：（8－9）例3用二阶龙格－库塔法求