行列式的计算探讨

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1、行列式的计算探讨作者：肖琨(井冈山学院数理学院,吉安，江西，343009)指导老师：朱景文[摘要]归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对若干特殊的例子进行推广.[关键词]行列式，拉普拉斯定理展开式，计算方法一前言无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题都或多或少的与行列式有着直接或间接联系.如：（1）线形方程组是否有解,解的形式是什么样的?(2)现测得,某一地区水银密度h与温度t的关系为：h=，并由实验测定以下数据，t0102030h13.6013.5713.3513.32现预测：

2、t=15，40时水银密度该怎样预测.（3）自然生态中，要预知一个物种的存活期，繁衍期，该怎样预测呢？当然，除了以上问题外，还有许多问题都与行列式紧密相连，甚至有些问题依赖于行列式来解决，这些问题的研究归根到底也就是行列式某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同，看起来毫无边际的问题，归纳成行列式的问题后却又似乎是相同的，这一切使得行列式成为高等代数特别是线形代数的一个重要研究对象.国际上一些知名数学家如：克兰姆，拉普拉斯，范得蒙等都对行列式有着深入的研究.14行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧.当然，任何一个n级

3、行列式都可以由它的定义去计算其值，但由定义可知，n级行列式的展开式有n！项，计算量很大，一般情况下，不用此法，但如果行列式有许多零元素，则可考虑此法，值得注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少，就从哪行开始，接下来要介绍计算行列式的最基本方法.方法1（列）展设为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有（i=1，2，或（j=1，2，其中为中的元素的代数余子式.按行（列）展开法，可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算.若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直

4、至化为许多个二阶行列式，这是计算行列式的又一基本方法，但一般情况下，按行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用.因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为较多的零元素，再将其按行（列）展开.例1.1计算下列n阶行列式A=解第1列中只有两个非零元素，因此，按第1列展开，计算会简化许多.经计算得：=例1.2A=分析14这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化为许多个2阶行列式的计算，则需要进行n！次加减法和乘法运算，这根本是无法完成的，更何况是n阶.但若利用行列

5、式的性质将其化为有许多零元素，则很快就可计算出结果，注意到，此行列式将从第2行至第n行元素都加到第1行，则第1行的元素有相同的值.即：消去第一行化为n-1阶行列式：解A=将其按第一展开得：A=再将行列式的最后一行乘以-1依次加到前面n-2行上去，得到=由此得到A=方法2递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为相同的结构的较低阶行列式.（比如：n-1阶或n-2阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式，根据递推关系式及某个低阶的初始行列式（比如二阶或一阶行列式的值），便可递推求得所给n阶行列式的值，

6、这种计算行列式的方法称为递推法.（注意）用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例2.1计算n阶行列式，（bc分析14此行列式的特点是：主对角线上的元素全为a，上次对角线上的元素全为b，下次对角线上的元素全为c，其余元素全为零，这种行列式称为“三对角”行列式，从行列式的左上方往右下方看，即知具有相同的结构.因此，可考虑利用递推关系式来计算.解为了求递推式，按第一行展开得令a=，bc=，则因此，（1）若（2）若点评虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的

7、结构，然后得到一递推关系式，但我们不能盲目乱代，一定要看这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递推关系式，如本题.方法3加边法(升阶法)有时,为了计算行列式,特意把原行列式加上一行一列再进行计算;这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法.当然，加边必须是保值的，而且要使得高一阶行列式较易计算.要根据需要和原行列式的的特点选取所加的行和列，加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况.加边法的一般作法是=1特殊情况取当然，加边法不是随便加一行

8、一列就可以了，那么加边法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子.如下题.例3.10，计算行列式解加边得14=再加边得再将第一列乘以-1加到第3，4，列得第3，4，列都乘以加到第一列；第3，4列都分别乘以加到第2列得到：最后按Laplace展开得14方法4拆行（列）法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式的