高阶线性微分方程

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1、班级：12统计姓名：龚伟学号:120314103高阶线性微分方程线性微分方程及其解的结构1线性微分方程定义4.1形如的方程称为阶线性微分方程，其中是已知函数。注：(1)特点：都是一次的；从而称为线性方程。(2)时，称为阶线性齐次微分方程；否则，称为阶线性非齐次微分方程。(3)特别地，当时，(4.1)称为二阶线性微分方程。时，有，(4.2)称为二阶线性齐次微分方程；否则，称为二阶线性非齐次微分方程。2线性微分方程解的结构定理（解的叠加性)如果函数与是方程(4.2)的两个解，那么也是方程(4.2)的解，其中与是任意常数。验证：因为是方程(4.2)的解，所以

2、，。将解代入方程(4.2)的左端，得=。问题与是(4.2)的解，由定理1，也是17(4.2)的解。那么，是不是可以作为通解呢？回答不一定。例如设有方程（是二阶线性齐次微分方程）。(4.3)一方面，由观察知与都是(4.3)的解，由叠加原理知也是(4.3)的解，但因为==，只有一个任意常数，所以，它不是(4.3)的通解。另一方面，由观察知与都是(4.3)的解，由叠加原理知，也是(4.3)的解，此时与是两个独立的变量，所以是(4.3)的通解。事实上，在此例中，由与得是常量，知与线性相关；而与之比不是常量，即与线性无关。定义4.2设有函数组，。若存在不全为零的

3、常数，使得，则称这个函数组在内线性相关，否则称线性无关。例4.1函数组在内是线性相关的。证取，则对于任意，有。注：特别地，对于两个函数与来说，由定义1知：⑴若在内有常数，则与在内线性无关；⑵否则，与在内线性相关。例如，；；哪组线性无关？17答：因常数。函数对对线性无关；因常数。函数对对线性无关；因=常数。函数对对线性相关。以下给出关于二阶线性齐次微分方程(4.2)的通解结构定理。定理4.2(二阶线性齐次微分方程的解的结构定理)如果函数与是方程(4.2)的两个线性无关的特解，则（是任意常数）就是方程(4.2)的通解。例4.1验证=与=是二阶线性齐次微分方

4、程的两个解；写出其通解。解将=与=代入方程可验证其是解。由常数，即与线性无关。所以，由定理4.2，是的通解。关于二阶线性非齐次微分方程的解的结构，先回忆一阶线性非齐次微分方程，它的通解的结构是，其中，为方程对应的齐次微分方程的通解，为方程的一个特解。对于二阶及二阶以上的线性齐次微分方程，也有同样的解的结构。下面来讨论二阶线性非齐次微分方程(4.1)的解的结构。定理4.3(二阶线性非齐次微分方程的解的结构定理)设是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的一个特解，是对应的二阶线性齐次微分方程(4.1)的通解，那么，是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的通解。17

5、证将代入方程(4.1)的左端，并因为与，得=。由于是方程(4.2)的解，知；由于是方程(4.1)的解，知。于是，左边右边，并注意到是(4.1)的通解，其中含有两个任意常数，于是中含有两个任意常数，所以它是方程(4.1)的通解。例4.1方程是二阶线性非齐次微分方程。由例4.2知是对应的二阶线性齐次微分方程的通解；又容易验证是所上给方程的一个特解，因此是所以给方程的通解。关于二阶线性非齐次微分方程(4.1)的特解，有如下的定理。定理4.4设二阶线性非齐次微分方程(4.1)的右端是几个函数之和，如，(4.4)而与分别是方程与的特解，那么+就是原方程(4.4)

6、的特解。证将+代入方程(4.4)的左端，得（+++++=+=。因此，与是方程(4.4)的一个特解。174.2常系数齐次线性微分方程求线性微分方程的通解，一般来说是很复杂的。现在，只讨论二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的求解问题。1二阶常系数齐次线性微分方程定义4.3形如，（其中为常数）(4.5)例如，，，都是二阶常系数齐次线性微分方程；不是二阶常系数齐次线性微分方程（因不是齐次）。2求解方法⑴求解基本思想由齐次线性微分方程通解结构定理，，关键是求出(4.5)的两个线性无关的特解；由(4.5)的“线性”“齐次”“常系数”特点，可以不用积分，而采用代数方

7、法，就能得到这样的，从而，进一步写出(4.5)的通解。⑵求解方法方程(4.5)的特征方程和特征根(1)首先，我们知道指数函数（为常数）的各阶导数只相差一个常数因子。由于指数函数的各阶导数具有这样的特征，使我们试想：方程(4.5)是否具有的特解？(2)试一下将代入方程(4.5)，得。由于，所以。(4.6)从而，我们看到：如果是二次方程(4.6)的根，则是方程(4.5)的特解。17(3)可见是方程(4.5)的解是方程(4.6)的根。注意：方程(4.6)中的系数及常数项，恰好就是微分方程(4.5)中及的系数。(4)定义代数方程(4.6)叫做二阶常系数线性齐次

8、微分方程(4.5)的特征方程；特征方程的根叫做特征值。至此我们看到：求(4.5)的特解问题，已