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1、第二章习题2-11.试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.证：由，知，，当时，有取，有，，设时（此时）有由数列极限的定义得.2.试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=
2、a
3、.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.证：而于是，即由数列极限的定义得考察数列，知不存在，而，，所以前面所证结论反之不成立。3.利用夹逼定理证明：(1)=0；(2)=0.证：（1）因为19而且，，所以由夹逼定理，得.（2）因为，而且，所以，由夹逼定理得4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限
4、存在.(1)xn=，n=1,2,…；(2)x1=,xn+1＝,n=1,2,….证：（1）略。（2）因为，不妨设，则故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，又，而,，所以即，即数列是单调递增数列。综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。习题2-21※.证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证：先证充分性：即证若，则.由及知：,当时，有，当时，有。19取，则当或时，有，而或就是，于是，当时，有，所以.再证必要性：即若，则,由知，，当时，有，由就是或，于是，当或时，有.所以综上所述，
5、f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2.(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和；(2)设f(x)=，问常数a为何值时，f(x)存在.解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.（2）若存在，则，由（1）知，所以，当时，存在。3.利用极限的几何意义说明sinx不存在.解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。习题2-3191.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之
6、商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。2.判断下列命题是否正确：(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4)有限个无穷小量之和为无穷小量；(5)有限个无穷大量之和为无穷大量；(6)y=xsinx在
7、(-∞，+∞)内无界，但xsinx≠∞；(7)无穷大量的倒数都是无穷小量；(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）错误，如第1题例1；（2）正确，见教材§2.3定理3；（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；（4）正确，见教材§2.3定理2；（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；（7）正确，见教材§2.3定理5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小
8、量，但其倒数无意义。3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；(3)f(x)=,x→0+，x→0-；(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;19(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=，x→∞.解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；当时，是无穷小量。（3）从的图可以看出，，所以，当时，是无穷大量；当时，是无穷小量。（4），当
9、时，是无穷小量。（5）当时，是无穷小量，是有界函数，是无穷小量。（6）当时，是无穷小量，是有界变量，是无穷小量。习题2-41.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?解：若f(x)存在，g(x)不存在，则（1）［f(x)±g(x)］不存在。因为若［f(x)±g(x)］存在，则由或以及极限的运算法则可得19g(x)，与题设矛盾。（2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。又如：，，则，不存在，而［f(x)·g(x
10、)］不存在。2.若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有令，则当时，有从而，由的任意性推出即.3.利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则=A,其中A=m
