《电子科大试题》word版

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1、学院班号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学2004年高等数学竞赛试题参考解答（180分钟）考试日期2004年9月11日一二三四五六七八九十总分评卷教师一、选择题（40分）1.下列命题中正确的命题有几个？……………………………………………………………………………（A）（1）无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个.2.设，则是间断点的函数是……………………………………（B）(A)；(B)；(

2、C)；(D)..3.设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则…………………（C）(A)1；(B)；(C)；(D).4.设连续，当时，与为等价无穷小，令，,则当时，的………………………………………………（D）(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)同阶无穷小但非等价无穷小；(D)等价无穷小.5.设在点的某邻域内连续，且满足则在点处…………………………………………………………………………………（A）(A)取极大值；(B)取极小值；(C)无极值；(D)不能确定是否有极值.6.设在连续，且导函数的图形如图所示，则有……………………………（D）(A)1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B)

3、2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C)2个极小值点与2个极大值点,无拐点；(D)2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7.设有连续的一阶导数，则…………………………………………（B）(A)；(B)；(C)；(D)0.8.设任意项级数条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为,将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与……………………………………………………（B）(A)两者都收敛；(B)两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D)以上三种情况都可能发生.5第页共4页学院班号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……9.设阶矩阵

4、A的伴随矩阵，且非齐次线性方程组有两个不同的解向量，则下列命题正确的是……………………………………………………………………………………………………（D）(A)也是的解；(B)的通鲜为（）；(C)满足的数必不为零；(D)是的基础解系.10.设则三个平面两两相交成三条平行直线的充要条件是…………………………………………………………………（C）(A)秩;(B)秩;(C)中任意两个均线性无关，且不能由线性表出;(D)线性相关，且不能由线性表出.二、(10分）设在区间连续，,试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.解（1）（2）（3）（4

5、）三、（10分）求曲线所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：[解2]令..5第页共4页学院班号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……四、（10分）设曲面为曲线()绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分[解1]S的方程为补两平面；[解2]五、（10分）设n阶矩阵的前个列向量线性相关,后个列向量线性无关,;（1）证明线性方程组有无穷多解；（2）求方程组的通解.解（1）相关，相关；无关，的秩为，且可以由表出；又由已知可由表出，故与等价，从而的秩为，，增广矩阵的秩与A的秩相等，即，故有无穷多解.（2）相关，不全为0的数，使，即，又的基

6、础解系只含一个解向量的基础解系；又的解，故的通解为x=C5第页共4页学院班号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……六、（10分）设阶矩阵的4个不同特征值为,其对应的特征向量依次为，记,求证：线性无关.[解1]，从而.无关，，，故的秩为4，故线性无关.[解2]设存在一组数使（1）由题设，利用特征向量的性质可得（2）将（2）式一并代入（1）式可有整理得因分属不同的特征值，故线性无关，从而有视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列的转置.因互异，所以.这表明只有零解，即=0，从而线性无关.七、（10分）设

7、幂级数,当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..解（1）令，，求得5第页共4页学院班号学号姓名………密………封………线………以………内………答………题………无………效……（2）由.八、（10分）设函数可微，,且满足求.解，对y积分得代入，，，九、（10分）如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么