中考冲刺数学专题7——探究规律问题

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1、2011中考冲刺数学专题7——探究规律问题【备考点睛】近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察

2、学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识。【经典例题】类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式例题1如图，在中，，把边长分别为,……，的个正方形依次放入中，请回答下列问题：ABC（1）按要求填表：123（2）第个正方形的边长；解答：如图，设，则，——相当于搞清楚第一项；由∽,得，而，ABC解得即；完全类似地可得。——搞清楚了递推关系。把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。（1）依次应填；；（2）例题2．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：＝1－；＝－；

3、＝－；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：＋＋＋…＋.解答：（1）（2）证明：－＝－＝＝.（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝.例题3如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。解答：我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：所以第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有个.例题4探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线

4、段种数：当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用表示不同长度值的线段种数。则当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有五种，比时增加了3种，即。（1）观察图形，填写下表：钉子数值22+32+3+（）（）（2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。（3）对的钉子板，写出用表示的代数式。解答：当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有。（这些是时已有的），（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）；时比时多出3个种数；时比时多出

5、4个种数;……时比时多出个种数;-----(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.(1)两个括号内应分别埴:4;2+3+4+5;(2)的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;(3).归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.类型二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式例题5一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用

6、剪刀在虚线之间把绳子再剪次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是（）A、B、C、D、解答：我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为，由（1，1），（2，5）得：即。本题要求的是“剪次”，实际上是序号所对应的图，其中绳子的段数应为。答：应选A。说明：对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪刀则是第个图，二者不应弄混。当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数”与绳

7、子段数之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系式,最后的结果是一样的.例题6观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则（用含的代数式表示）。解答：题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数（自变量）每增大1，对应的函数值就增大3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。设，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：答：说明：就本题来说，用“一

8、般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。例题7将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图