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1、2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答(理工类)一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设是连续函数,且,则2.设,若则3.4.设是连续函数,且其中由x轴、y轴以及直线围成,则5.椭球面平行于平面的切平面方程为和二.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设则在处(A),(B),(C),(D)不可导.答:(A)2.设函数具有二阶导数,且满足方程已知则(A)在的某个邻域中单调增加,(B)在的某个邻域中单调增少,(C)在处取得极小值,(D)在处取得极大值.答:(C)3.图中曲线段的方程为,函数在区间上有连续的导数,则积分表示(A)直角三角形AOB的面积,(B
2、)直角三角形AOC的面积,(C)曲边三角形AOB的面积,(D)曲边三角形AOC的面积.答:(D)4.设在区间上的函数且令则(A)(B)(C)(D)答:(C)5.设曲面取上侧为正,是在的部分,则曲面积分(A)(B)(C)(D)答:(B)7一.(6分)设函数其中函数处处连续.讨论在处的连续性及可导性.解因此,在处连续.因此,在处可导,且二.(6分)设函数由方程确定,又函数由方程确定,求复合函数的导数解方程两边对求导当t=0时,x=0,故方程两边对x求导当时,故因此,三.(6分)设函数在上二阶可导，且，记，求的导数，并讨论在处的连续性.解由已知的极限知从而有7当
3、时,从而有因为所以,在处连续.当时,在处,由有所以,而故在处连续.一.(7分)设函数在上可导,且满足:(Ⅰ)研究在区间的单调性和曲线的凹凸性.(Ⅱ)求极限解(Ⅰ)当时,有故在区间单调增加.从而当时,也单调增加.可见,曲线在区间向下凸.(或当时,可得可见,曲线在区间向下凸.)(Ⅱ)由题设知,应用洛必达法则7一.(7分)设在上具有连续导数,且试证证令则在连续,且对,又由题设知,当时,令则在上连续,且故有因此于是在上单调增加,取,即得所证结论成立.二.(7分)设函数具有二阶导数,且直线是曲线上任意一点处的切线,其中记直线与曲线以及直线所围成的图形绕轴旋转一周所得
4、旋转体的体积为试问为何值时取得最小值.解切线的方程为即于是可见,在连续,在可导.令,由于在内有唯一的驻点并且,当时,;当时,因此,在处取得最小值.7一.(7分)计算其中为从点沿圆周在第一象限部分到点的路径.解令则取点作有向直线段其方程为从0变到1).作有向直线段其方程为从0变到1).由曲线、有向直线段和形成的闭曲线记为(沿顺时针方向),所围成的区域记为,则十.(8分)设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线：，（从0变到）和有向直线段构成，其中，；（2）闭曲线将其所在的圆锥面划分成两部分，是其中的有界部分.（Ⅰ）如果表示一力场，求沿所做的功；（Ⅱ）如果表示流体的流速
5、，求流体通过流向上侧的流量.(单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段其方程为从变到0).所求沿所做的功为.（Ⅱ）所在的圆锥面方程为，曲面上任一点处向上的一个法向量为在面上的投影区域为,在极坐标系下表示为:故所求流体通过流向上侧的流量为7.注:(Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得.十一.(8分)设函数在心形线所围闭区域上具有二阶连续偏导数,是在曲线上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),是沿的外法向的方向导数,取逆时针方向.(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若求的值.(Ⅰ)证由方向导数的定义其中,是相对于x轴正向的转角.设是L的切向量相对于x轴正向的转角,则或故(Ⅱ)解应
6、用格林公式由对称性十二.(8分)设圆含于椭圆的内部,且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ)求与满足的等式;(Ⅱ)求与的值,使椭圆的面积最小.7解(Ⅰ)根据条件可知,切点不在轴上.否则圆与椭圆只可能相切于一点.设圆与椭圆相切于点,则既满足椭圆方程又满足圆方程,且在处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率,即.注意到因此,点应满足由(1)和(2)式,得(4)由(3)式得代入(4)式化简得或(5)(Ⅱ)按题意,需求椭圆面积在约束条件(5)下的最小值.构造函数令(6)·a−(7)·b,并注意到,可得.代入(8)式得,故从而由此问题的实际可知,符合
7、条件的椭圆面积的最小值存在,因此当时,此椭圆的面积最小.7
