对数函数习题精讲

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1、对数的运算性质1．对数的运算性质：如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．2．例题分析：例1．用，，表示下列各式：（1）；（2）．例2．求下列各式的值：（1）；（2）．例3．计算：（1）lg1421g；（2）；（3）．例4．已知，，求的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解：．说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。例5．已知，求．分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或

2、者将变为对数形式。解：（法一）由对数定义可知：．（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴．（法三），∴，∴．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示．解：（1）∵，∴，∴log34-log36=．（2）∵，∴，又∵，∴=．换底公式1．换底公式：(a>0,a¹1；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：（1）；（2）（、且均不为1）．证明：（1）；（2）．2．例题分析：例1．计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．例2．已知，，求

3、（用a,b表示）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．例3．设，求证：．证明：∵，∴，∴．例4．若，，求．解：∵，∴，又∵，∴，∴∴．例5．计算：．解：原式．例6．若，求．解：由题意可得：，∴，∴．对数函数例1．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；（2）由得，∴函数的定义域是；（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例2．求函数和函数的反函数。解：（1）∴；（2）∴．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（2），；（3），.解：（1）对数函数在上

4、是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是，当时，对数函数在上是减函数，于是．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（2），；（3），，；（4），，．解：（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．（3）∵，，，∴．（4）∵，∴．例6．已知，比较，的大小。解：∵，∴，当，时，得，∴，∴．当，时，得，∴，∴．当，时，得，，∴，，∴．综上所述，，的大小关系为或或．例7．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）．解：（1）令，则，∵，∴，即函数值域为．（2）令，则，∴，即函数值域为．（3）令，当时，，即值域为，当时，，即值域为．例8．判断函数

5、的奇偶性。解：∵恒成立，故的定义域为，，所以，为奇函数。例9．求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又∵，∴或，故在上递增，在上递减，又∵为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令，∵函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，所以，的取值范围为．对数函数1如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为(   )．　　（A） 　　（B）          　　（C）　　（D）2.函数y=logx－1(3－x)的定

6、义域是如果对数有意义，求x的取值范围；解：要使原函数有意义，则解之得：∴原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5)(-1，+)函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。利用图像判断方程根的个数3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．解：由原方程可化为，变形整理有（*），，由于方程（*）的根为正根，则解之得，从而

7、5．求函数的单调区间．．解：设，，由得，知定义域为又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数.的单调增区间为，单调减区间为题目2】求函数的单调区间。正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x

8、x＜1或x＞5}，当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。6、设函数，若的值域为，求实数的取值范围．