成才之路数学选修2-1之

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1、3.1.3一、选择题1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　B[解析]　当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么(　　)A.·<·B.·＝·C.·>·D.·与·不能比较大小[答案]　C[

2、解析]　易知AE⊥BC，∴·＝0，·＝(＋)·＝·(－)＋·＝

3、

4、·

5、

6、·cos120°－

7、

8、·

9、

10、cos60°＋

11、

12、·

13、

14、cos120°<0.3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

15、a＋3b

16、(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．4[答案]　C[解析]　

17、a＋3b

18、2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝

19、a

20、2＋6

21、a

22、

23、b

24、cos＋9

25、b

26、2，∵

27、a

28、＝

29、b

30、＝1，〈a，b〉＝60°，∴

31、a＋3b

32、2＝13，∴

33、a＋3b

34、＝.4．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，

35、〉＝(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°[答案]　D[解析]　＝，∵△A′BD为正三角形，∴〈，〉＝120°.5．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)A．6　　B．6　　　C．12　　　D．144[答案]　C[解析]　∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴

36、

37、＝12.6．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则

38、a－2b＋3c

39、＝(　　)A．14　　B.　　C．4　　D．2[答案]　B[解析]　

40、a－2b＋3c

41、2＝

42、a

43、2＋4

44、

45、b

46、2＋9

47、c

48、2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，∴选B.7．已知

49、a

50、＝2，

51、b

52、＝3，〈a，b〉＝60°，则

53、2a－3b

54、等于(　　)A.B．97C.D．61[答案]　C[解析]　

55、2a－3b

56、2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×

57、a

58、

59、b

60、cos60°＝97－12×2×3×＝61.8．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于(　　)A.B.C．－D．0[答案]　D[解析]　cos〈，〉＝＝＝＝.因为

61、

62、＝

63、

64、，∠AOC＝∠AOB＝，所以cos〈，〉＝0.9．在空间四边形AB

65、CD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是(　　)A．

66、＋＋

67、＝

68、＋－

69、B．

70、＋＋

71、2＝

72、

73、2＋

74、

75、2＋

76、

77、2C．(＋＋)·＝0D.·＝·＝·[答案]　C[解析]　A中，由

78、＋＋

79、＝

80、＋－

81、，得(＋＋)2＝(＋－)2，展开得(＋)2＋

82、

83、2＋2(＋)·＝(＋)2＋

84、

85、2－2(＋)·，整理得(＋)·＝0，因为，，两两垂直，所以(＋)·＝0成立，因此A正确．易得B正确．(＋＋)·＝(＋＋)·(－)＝·－

86、

87、2＋·－·＋

88、

89、2－·＝

90、

91、2－

92、

93、2，当

94、

95、＝

96、

97、时，

98、

99、2－

100、

101、2＝0，否则不成立，因此C不正确．D中，·＝·(－)＝·－·

102、＝0，同理·＝0，·＝0，因此D正确．10．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定[答案]　B[解析]　＝－，＝－，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋

103、

104、2＝

105、

106、2>0，∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．二、填空题11．已知

107、a

108、＝2，

109、b

110、＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.[答案]　[解析]　cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.12．已知正方体A

111、BCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则(1)·＝________；〈，〉＝________；(2)·＝________.[答案]　(1)1，arccos　(2)1[解析]　(1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，

112、

113、2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴

114、

115、＝，

116、

117、2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴

118、

119、＝，∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝arccos.(2)·＝(b＋c－a)·b＝

120、b

121、2＋b·c－b·a＝1.

122、13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.[答案]　a2[解析]　·＝·＝

123、

124、·

125、

126、·cos〈，〉＝a×a×cos60°＝a2.14．已知在空