数学系08数教毕业论

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1、学号：080301158毕业论文论文题目：关于一阶微分方程解的研究姓名：袁婷学科专业：数学教育指导教师：桂旺生完成时间：2011年5月20日摘要本文运用罗尔定理，零点定理，拉格朗日中值定理，极值定理，泰勒公式来研究一阶微分方程的解存在性，唯一性，总结了3种根的存在性及唯一性的证明思路，并举例给以应用，进一步对方程解的个数进行了讨论。关键词：解的存在性；解的唯一性；解的个数池州学院毕业论文目录第一章绪论…………………………………………………………………………………11.1引言……………………………………………………………………………11.2五个基本定理…………………………………………………………

2、………1第二章一阶微分方程解的研究……………………………………………………………22.1关于方程的解（或的零点）存在性的证明思路…………22.2方程=0的解的唯一性的研究…………………………………………32.3对方程的解的个数的讨论…………………………………………4参考文献………………………………………………………………………………………71池州学院毕业论文第一章绪论1.1引言研究微分方程解的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的情况。牛顿建立微积分的同时，又简单的研究了微分方程用级数求解，后来瑞士学家雅各布贝努利，欧拉，法国数学家克雷洛，拉各朗日等人又不断的

3、研究和丰富了微分方程的理论。微分方程的存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的，本文主要来讨论方程是否有解，如果有解，是否唯一呢？如果不唯一，解的个数又是多少呢？1.2五个基本定理罗尔定理:设函数满足如下条件：在闭区间[ab]上连续,在开区间(ab)内可导,，则在(ab)内至少存在一个ε,使得；零值定理：设函数在[ab]上连续，且则在（ab）内至少存在ε,使得0(a)；拉格朗日中值定理：设函数满足条件：在闭区间[ab]上连续,在开区间(ab)内可,；在（ab）内至少存在ε,使得；极值定理：设函数在处可导，且在处取得极值，则；泰勒公式：若函数在[ab]上存在直至n阶的连续导函数，在（ab）

4、内存在直至n阶的连续导函数，在（ab）内存在n+1阶的导函数，则对任意给定的[ab]，至少一点（ab），使得；1池州学院毕业论文第二章一阶微分方程解的研究研究方程的解，关键是看方程的根是否存在，若存在，是否唯一，若不唯一，那么方程的解是几个呢？2.1关于方程的解（或的零点）存在性的证明思路ⅰ知道在[ab]或(ab)上连续，而没有说明是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明ⅱ做出的一个原函数。证明满足罗尔定理的条件，从而得出的零点证明。ⅲ用反证法证明例1：设在[ab]上连续，=0，证明:在(ab)内至少存在一点ε，使得[分析]本题仅在[ab]上连续，因而只能用零值定理证明证：由假设与同号

5、，不妨设由导数定义有由极限定理知一个当时有又=0必定同理由，一个当时，有令0，则当时，当时，又显然在（）上连续，由零值定理，在（）内，从而在（ab）内至少一个ε，使得0例2：设，在闭区间[ab]上连续，在（ab）内可导，且对于（ab）的一切x有证明：方程=0的两个相邻的根之间至少有=0的一个实根1池州学院毕业论文证明：设（ab）,且是=0的两个相邻的实根，若（）没有的实根，则可以在[]对函数应用罗尔定理，于是存在（），使得则有式子与题中的条件相矛盾，则有命题得证2.2方程=0的解的唯一性的研究，我们了解一下存在唯一性的定理，定理如下：如果在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程(1.1)存在

6、唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里（利用罗尔定理证明=0至少存在一个解;①利用函数单调性证明=0最多有一个实数解;③也可以利用反证法来证明=0最多有一个实数解.下面的例题给以说明上面的证明唯一性的思路:例3：设函数在闭区间[01]上可微，对于[01]上的每一个x，函数的值都在开区间（01）内，且，证明：在（01）内有且仅有一个x，使=x证明：令，由题设知道在[01]上连续又由于，所以，由闭区间上的连续函数的零值定理可知：在（01）内至少一点x，使=0，即另：用反证法证明在（01）内至多有一个零点，若不然（01），且，使得，,由拉格朗日中值定理，至少存在一个5池州学院毕业论文，使得

7、与题中的条件相矛盾综上所述，在（01）内有且仅有一个x，使=x.例4：设在[1]上处处有且f(1)=2,f(1)=-3，证明：在（1）内方程=0仅有一个实数解证明：把在x=1处展成一阶的泰勒展式,因此=由题中的条件，则，于是，有，可知，取时，，又，由罗尔定理可知，，使即方程=0，当时，方程有实数解.又由题设时处处有，所以是单调递减的于是，当时可知，当时是严格单调递减函数，因此最多有一个实数解，综上