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《2015秋高中数学 2.3幂函数学案设计 新人教a版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学习目标①掌握幂函数的形式特征及具体幂函数的图象和性质;②能应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境请看下列问题,并将每个问题中的y表示成x的函数.1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克,那么她需要支付y= (x>0)元; 2.如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y= (x>0); 3.如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y= (x>0); 4.如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形场地的边长y= (x>
2、0); 5.如果某人以xm3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水,那么他注水的时间y= (x>0). 二、自主探索,尝试解决思考:1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析式结构上的共同特征吗?2.根据我们学习的函数的概念,你能不能判断它们能否构成函数?是我们学习过的哪类函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?幂函数的定义(形式定义):请同学们举出一个具体的幂函数.三、信息交流,揭示规律y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,y=x-2.请同学们用描点法在平面
3、直角坐标系中画出上述函数的图象.总结函数性质,填写表格.y=x3y=x2y=xy=y=x-1y=x-2定义域值域奇偶性单调性定点性质总结如下:α>0α<0在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1)在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数图象过原点在第一象限内,当x从右边趋向于0时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴四、运用规律,解决问题【例1】比较下列两个代数式值的大小:(1)2.,2.;(2)(,(;(3)(a+1)1.5,a1.5;(4)(2+a2.【例2】讨论
4、函数y=的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.思考与讨论:幂函数y=xα(α∈R),当α=1,3,5,…(正奇数)时,函数有哪些性质?【例3】证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.五、变式演练,深化提高1.下列函数中,是幂函数的是( ) A.y=-B.y=3x2C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过(0,0)和(1,1)B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数
5、D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数3.函数y=的图象大致是( )4.幂函数y=的单调递增区间是 . 5.a=1.,b=0.,c=1.的大小关系是 . 6.幂函数f(x)=a(m∈Z)的图象与x轴和y轴均无交点,并且图象关于原点对称,求a和m.六、反思小结,观点提炼1. 2. 3. 七、作业精选,巩固提高1.课本P79习题2.3.2.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=xx3.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是( )A.y=x3B.y=x2C.y=
6、D.y=4.已知某幂函数的图象经过点(2,),求函数的解析式.参考答案一、设计问题,创设情境1.x 2.x2 3.x3 4. 5.x-1二、自主探索,尝试解决幂函数的定义(形式定义):一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.y=x-1,y=,y=x4,y=x0,y=x-3等.三、信息交流,揭示规律y=x3y=x2y=xy=y=x-1y=x-2定义域RRR[0,+∞){x
7、x≠0}{x
8、x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y
9、y≠0}(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇
10、函数偶函数单调递增递增[0,在(-∞,在(-∞,性在(-∞,0)减+∞)增0)减0)增在(0,+∞)增在(0,+∞)减在(0,+∞)减定点(1,1)四、运用规律,解决问题【例1】解:考查幂函数y=,因为y=在(0,+∞)上单调递增,而且2.3<2.4,所以2.<2.;以下各题同理可解:(2)(>(;(3)(a+1)1.5>a1.5;(4)(2+a2.【例2】解:要使y=有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R.∵f(-x)=(-x=f(x),∴函数y=是偶函数;x01234…y011.592.082.52…其
11、图象如图所示.幂函数y=在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.思考与讨论:定义域为R,值域为R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数.【例3】证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x10,所以<0.所以f(x1)
