高三数学大一轮复习讲义 7.4基本不等式 理 新人教a版

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1、§7.4　基本不等式2014高考会这样考　1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题．复习备考要这样做　1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则

2、a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)[难点正本　疑点清源]1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．

3、运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．1．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．答案　81解析　由于x>0，y>0，则x＋y≥2，所以xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81.2．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．答

4、案　－2解析　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是_____________．答案　8解析　因为＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，等号当且仅当y＝，x＝时成立．4．(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)A.B.C．5D．6答案　C解析　∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.5．

5、圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝(a＝b时取等号)．故ab的取值范围是.题型一　利用基本不等式证明简单不等式例1　已知x>0，y>0，z>0.求证：≥8.思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证．证明　∵x>0，y>0，z>0，∴＋≥>0，＋≥>0，＋≥>0，∴≥＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．

6、探究提高　利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明　∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．题型二　利用基本不等式求最值例2　(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当x>0时，则f(x

7、)＝的最大值为________．思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式．答案　(1)3＋2　(2)1解析　(1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．(2)∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3B．4C.D.(2)已知

8、a>b>0，则a2＋的最小值是________．答案　(1)B　(2)16解析　(1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4.当且仅当即时等号成立．∴x＋2y的最小值是4.(2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤2＝，当且仅当a＝2b时等号成立．∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16，当且仅当a＝2时等号成立．∴当a＝2，b＝时，a2＋取得最小值16.题型三