八年级数学下册 18.2 勾股定理的逆定理导学案 (新版)沪科版

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1、勾股定理的逆定理1．勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(2)数学表达式：如图所示，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如果，则△ABC为直角三角形，c边所对的角为直角，即∠C=90°.知识点拓展：(1)运用勾股定理的逆定理可判定三角形是否为直角三角形，同时也可用来说明两直线是否垂直．在运用时要注意两点：①不能机械地认为Rt△ABC中，c边所对的角是直角；②a2＋b2是否与c2相等需要计算说明，不能一开始就用a2＋b2＝c2.(2)设三角形的三边长为a，b，c(c为最长边)．①若a2＋b2＝c

2、2，那么这个三角形是直角三角形；②若a2＋b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形；③若a2＋b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形．【例1】根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．(1)a＝＋1，b＝－1，c＝；(2)a∶b∶c＝13∶12∶5.分析：解决这类题要先找出最长边，并算出它的平方，再算出两条较短边的平方和，然后判断最长边的平方是否等于两条较短边的平方和．解：(1)最长边是c＝，则c2＝6.∵a2＋b2＝(＋1)2＋(－1)2＝3＋2＋3－2＝6，∴c2＝a2＋b2.∴△ABC是直角三角形．(2)设a＝13k，b＝12k，c＝5k(k＞0)，最长边是a＝13k，则a2

3、＝(13k)2＝169k2.∵b2＋c2＝(12k)2＋(5k)2＝169k2，∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形．(1)△ABC的三边a，b，c中的任意一边都可以是斜边，不要受思维定式的影响，总认为c是最长边，其实应根据已知条件确定最长边．(2)如果三角形三边的比是勾股数的比，那么这个三角形是直角三角形．(3)设常数k是转化比例关系的常用方法，应熟练掌握．2．勾股数若三个数为勾股数，则它们必须同时满足两个条件：(1)能够成为直角三角形三条边的长度；(2)三个数都是正整数．这两个条件缺一不可．根据“勾股数”的定义我们知道，“勾股数”指的是满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，

4、b，c，而有些同学误认为只要满足a2＋b2＝c2的三个数a，b，c即是勾股数，这是错误的，比如－6,8,10，虽然满足(－6)2＋82＝102，但－6,8,10不是勾股数．【例2】张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22＋132＋142＋152＋1…(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a＝__________，b＝__________，c＝__________.(2)以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？分析：从表中的数据找到规律．解：(1)n2－1　2n

5、　n2＋1(2)以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋4n2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．3．两点之间的距离公式在平面直角坐标系中有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点之间的距离

6、AB

7、＝，这就是两点之间的距离公式．【例3】在平面直角坐标系中有两点A(－1,1)，B(1,3)，在x轴上找一点C，使AC＝BC，求点C的坐标．分析：由于点C在x轴上，故可设点C的坐标为(x,0)，由于AC＝BC，故可根据两点间的距离公式列方程求解．解：设C点的坐标为(x

8、,0)．∵AC＝BC，∴＝，即(x＋1)2＋1＝(x－1)2＋9，解得x＝2，故C点坐标为(2,0)．若解为整数，用几何法在网格中可以确定C点坐标；若解为非整数，用几何法只能画出大概位置，不能用坐标准确定位，所以用两点间的距离公式列方程求解显得十分必要．4．运用勾股定理的逆定理判断直角三角形勾股定理的逆定理的主要作用是判断一个三角形是否是直角三角形，另外，还可以运用勾股定理的逆定理来判断一个角是否是直角，或判断两条直线是否垂直．三角形的三边长已知，需要判断一个三角形是否是直角三角形时，就要联想到是否用到勾股定理的逆定理．【例4】如图所示，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，

9、AD＝12，AC＝15，BD＝5，试求△ACD的面积．解：因为AD2＋BD2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169，所以AD2＋BD2＝AB2，所以△ABD是直角三角形，AD⊥BC.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，所以CD＝9，S△ADC＝AD·CD＝×12×9＝54.5．勾股定理及其逆定理的综合运用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想．勾