（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和文1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)

2、．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.【思考辨析】判断下

3、面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(　×　)(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　

4、)1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.答案　42解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.2．等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝________.答案　12解析　令首项为a，根据已知条件有(a＋9)2＝(a＋3)·(a＋21

5、)．解得a＝3，所以a4＝3＋3×3＝12.3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于________．答案　4解析　数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．答案　2n－1解析　由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a

6、2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又∵数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案　27,81解析　设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一　等比数列基本量的运算例1　(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已

7、知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.答案　(1)　(2)4或－4解析　(1)显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.所以或故a3＝4或a3＝－4.思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组

8、)可迎刃而解．　(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________.(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.答案　(1)　(2)3n－1解析　(1)设公比为q，则由题意知0＜q＜1，由得a4＝3，a6＝2，所以＝＝.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故