备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题17 恒成立问题——数形结合法

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1、专题17恒成立问题——数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若，均有的图象始终在的下方（2）若，均有的图象始终在的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意

2、草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例1．【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】9【解析】若对任意的，恒成立，可得：恒成立，令，，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类

3、讨论：(1)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.例2.【2018届一轮训练】已知log(x＋y＋4)

4、[10，＋∞)点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例3．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】已知函数定义域为，，，令，图象如图，∵函数在上不单调，∴区间在零点1或3的两侧，或，解得或.即实数的取值范围是.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充

5、要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想例4．【2018届二轮训练】对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.结合二次函数的图象得⇒⇒即x<－1或x>3.故答案为：(－∞，－1)∪(3，＋∞)例5.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________【答案】可得：，综上可得：.【名

6、师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）.（3）处理好边界值是否能够取到的问题.例6.若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________【答案】【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图象，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图象进一步可得只需时，，即，所以例7.已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________【答案】m+1m【

7、名师点睛】本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可.例8.已知函数若直线与函数的图象只有一个交点,则实数的取值范围是________.【答案】或【解析】作出函数f(x)的图象如图,例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是_____________【答案】【解析】是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面的图象比较容易作出，另一方面可看

8、作是的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找满足的条件.先将写为分段函数形式：，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图象.恒成立，意味着的图象向右平移一个单位后，其图象恒在的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得：答案：