高三数学大一轮复习讲义 4.3三角函数的图象与性质 理 新人教a版

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1、§4.3　三角函数的图象与性质2014高考会这样考　1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做　1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、、(π，0)、、(2π，0)．余弦函数呢？2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinx

2、y＝cosxy＝tanx定义域RR{x

3、x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋，0)(k∈Z)对称中心：(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2k单调增区间(kπ－，单调减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)π，2kπ＋π](k∈Z)kπ＋)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数[难点正本　疑点清源]1．函数的周期性若f(ωx＋φ＋T)＝f

4、(ωx＋φ)(ω>0)，常数T不能说是函数f(ωx＋φ)的周期．因为f(ωx＋φ＋T)＝f，即自变量由x增加到x＋，是函数的周期．2．求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．设点P是函数f(x)＝sinωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________．

5、答案　π解析　由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的，故f(x)的最小正周期为T＝4×＝π.2．函数y＝2－3cos的最大值为______，此时x＝______________.答案　5　π＋2kπ，k∈Z解析　当cos＝－1时，函数y＝2－3cos取得最大值5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，从而x＝π＋2kπ，k∈Z.3．(2012·福建)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－答案　C解析　方法一　∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋

6、，k∈Z.取k＝－1，则x＝－.方法二　用验证法．x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C项正确；x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D项也不正确．4．函数y＝tan的定义域为(　　)A．{x

7、x≠kπ－，k∈Z}B．{x

8、x≠2kπ－，k∈Z}C．{x

9、x≠kπ＋，k∈Z}D．{x

10、x≠2kπ＋，k∈Z}答案　A解析　令－x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ－，k∈Z.5．给出下列四个命题，其中不正确的命题为(　　)①若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ，k∈Z；②函数y＝

11、2cos的图象关于x＝对称；③函数y＝cos(sinx)(x∈R)为偶函数；④函数y＝sin

12、x

13、是周期函数，且周期为2π.A．①②B．①④C．①②③D．①②④答案　D解析　命题①：若α＝－β，则cosα＝cosβ，假命题；命题②：x＝，cos＝cos＝0，故x＝不是y＝2cos的对称轴；命题④：函数y＝sin

14、x

15、不是周期函数．题型一　三角函数的定义域、值域问题例1　(1)求函数y＝lgsin2x＋的定义域；(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二

16、次函数．解　(1)由，得∴－3≤x<－或0

17、－3≤x<－或0

18、x

19、≤，∴t∈.∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，∴当t＝时，ymax＝，t＝－时，ymin＝.∴函数y＝cos2x＋sinx(

20、x

21、≤)的最大值为，最小值为.探究提高　(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)

22、；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于