《叶盛标提到的》word版

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1、只要两秒强行带入定型定法以洛为主单夹积导前言极限是微积分的基石；导数是微积分的关键；初等函数——公式搞定；分段函数——分段搞定；上限函数——导数搞定。第一章函数、极限与连续§0内容提要0、极限的定义（科学的语言——五句话）i)函数极限的定义（科学的语言——五句话）①的极限定义为：①（任给）；②（存在）；③当时；④总有成立；⑤则有。前4句话与第5句话等价的左极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。结论：存在，即左极限与右极限存在且相等②的极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。前4句话与第5句话等价的左极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；

2、⑤则有。ii)数列极限的定义（科学的语言——五句话）数列的极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。前4句话与第5句话等价1、两个重要极限，这两个极限之所以重要，是因为几乎全部的基本初等函数求导公式都是由这两个重要极限推出的。2、极限存在的两个准则：i)夹逼定理;ii)单调有界数列有极限.3、连续与间断设函数在点的某邻域内有定义，如果存在，且，则称在点连续。破坏“设”、“如果”、“且”三条件之一者谓之间断，为间断点。若左极限及右极限都存在，那么称为的第一类间断点，否则为第二类间断点。保号定理，保命定理。4、最值定理5、保函数号定理证明：时，即，于是取

3、，即6、保极限号定理中值定理，边值搞定，证明：反正即可。7、介值定理8、零点定理零点定理，边值搞定9、极限的四则运算注意：。§1思维定势思维定势1洛必达前，要用三处（高等数学、初等数学、特例法）在春天就必须掌握的五个常用的麦克劳林公式生产出系列等价无穷小I)时,Iv)时,v)时,§2常考题型常考题型1强行带入，定顶星定法例2求极限洛必达前，要用三处。（初处）解：超越函数，不再超越。超越函数：不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算，得到函数值的函数，谓之超越函数，指数函数、对数函数、三角函数为超越函数。例3求极限洛必达前，极限搞定。解：补充（全国2010

4、，数一）极限A、1B、C、D、解：幂指函数，对数恒等。例4零与非零，泾渭分明。解：（）补充（全国2008数一、数二）求极限高处解：零与非零，泾渭分明。另解：解法三：拉氏弧形，不拉不行。补充（全国2009数二、数三）求极限解：零与非零，泾渭分明。评注：求极限的最好办法：洛必达前，极限搞定。幂指函数，对数恒等。补充：求极限解：零与非零，泾渭分明。注意：此处不能直接利用等价无穷小（），应作如下处理。另解：补充处理：，而，刚才省略了这个步骤。补充（全国2011，数一，10分）求极限解：由于补充（全国1997，数二）求极限解：另解：补充（全国2011年，数三，10分

5、）超越函数，不再超越。求极限解：看到根号，想到共轭。补充（全国2011，数一）（答案：）补充（全国2005，数二）设函数连续，且分析：解：分子，分母，在此处如果继续这样处理：就是错误的，因为①在不可导；②导数不连续。考研数学的四个标准化：上限函数要标准化；微分方程要标准化；线性方程要标准化；随机变量要标准化。例6解：，练习：求下列极限①；②；（答案均为0）例8解：定理：（函数极限与数列极限的关系）例10求极限。分析：有理分式真分式部分分式（假的变真的，真的再分解）解：例13解：上述极限的左极限为上述极限的右极限为常考题型2导数、积分，可求极限例14.若的二

6、阶导数存在，则错解：错因分析：的二阶导数存在，但在附近并不连续。补充：设处可微，一点可导，定义搞定。幂指函数，对数恒等。例15求极限解法一：此种解法错误。解法二：令；则且有又有，；根据递推公式；有，故本题无法由本解法解出。解法三（采用定积分定义进行求解）：详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。定积分是一种特殊的和式极限：i)ii）决定积分区间：；Iii)决定微分：；在本题中取例17求极限解：，而，，幂指函数，对数恒等。注意：，又。由本题可得结论：。常考题型3夹逼定理，谁来夹逼由于数列离散，致使本题无法采用导数与积分定义的方法求该极限。例18求极限解法一：则则有

7、，；根据数列的递推公式，有，故本题无法由本解法解出。解法二（夹逼定理）：详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。夹逼定理：i）（夹得住）；ii)（夹得紧）；则。夹逼定理是没有办法的办法，一般不要轻易使用。常考题型4递推极限，要看两头补充（全国1996，数学一）设分析：，逆向思维即解：i）先证,;由数学归纳法，则数列。Ii)再证数列例19设由下式定义常考题型8渐近线里三种类补充（全国2010，数二）曲线的渐近线方程为_______解：i)，没有水平渐近线；ii)无垂直渐近线；iii），；故曲线仅有斜渐近线。第二章导数与微分§0内容提要1、导数的定义2、导函数如果内

8、可导，如果内可导，在处有右导数，在处有左导数；3、可导可微，其中与