《中值定理应用》word版

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1、第三章微分中值定理与导数的应用§1内容提要一、介值定理1、定理1（零点定理）设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有一点使2、定理2（介值定理）设函数在闭区间上连续，且及，那么对于与之间的任一个常数，开区间内至少有一点，使二、微分中值定理1、定理3（费马（fermat）引理）设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（），那么。注：①费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。②一阶导数等于零的点称为函数的驻点。2、定理4（罗尔（Rolle定理））如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）

2、在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。3、定理5（拉格朗日（Lagrange）定理）如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使得。4、定理6如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。5、定理7（柯西（Cauchy）定理）如果函数及满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）对任一那么在内至少有一点，使得。6、定理8（泰勒（Taylor）定理）如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对有，其中，这里是与之间的某个值，此公式也称为带有拉格朗日型

3、余项的阶泰勒公式。（1）当时，称为带有皮亚诺（Peano）余项的阶泰勒公式。（2）在泰勒公式中，如果取，则在与之间，此时可令，下面两公式分别称为带有拉格朗日余项的阶麦克劳林公式和带有皮亚诺余项的阶麦克劳林公式：§2典型题型与例题分析题型一证明存在，使解题提示：用介值定理。唯一性由（或）确定。例1、设在上连续，当时，（为常数）。试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根。（提示：由拉格朗日中值定理在中先找到一点，使，然后再用介值定理，注意唯一性）例2、设在上连续，且，证明在内存在唯一的，使得直线将曲线和直线以及所围成的平面图形分成面积相

4、等的两部分。例3、设函数在上连续，且。试证：在内至少存在两个不同的点，使分析：证明介值问题，一般两种情形：（1）要证的结论与某函数在一点的函数值有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理（如例1，例2）；（2）要证的结论与某函数在某一点的导数值或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（题型二将详述）。本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，实际上应用微分中值定理解决，根据，利用变限积分的函数作辅助函数。本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较

5、困难，可考虑作辅助函数：。显然有，但要证本题结论，还需要找的一个零点，这要由第二个条件来实现，为了与联系起来，可将其变换为再通过分部积分和积分中值定理就可达到目的。例4、设在上连续，在上有连续的导数且在内，并且，试证至少存在两个不同的点，使。（提示：同例3）题型二证明存在，使解题提示：用罗尔定理（或多次利用罗尔定理）例5、设函数在上连续，在内可导，且。试证必存在，使。（提示：只需证明存在一点，使然后应用罗尔定理即可。由条件，问题转化为1介于函数的最值之间，用介值定理就可以达到目的。）例6、设函数在区间上有三阶导数，且，设，证明：在

6、内存在一点，使得。（提示：直接用麦克劳林公式，也可以三次用罗尔定理）例7、设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，且，证明：存在，使得。（本题综合考查介值定理和罗尔定理。提示：令，只需对用罗尔定理。）题型三证明存在，使解题提示：构造辅助函数，利用中值定理）步骤：（1）将换为；（2）恒等变形，便于积分；（3）积分并分离常数：，则即为所需的辅助函数。例8、设在上连续，在内可导，且满足，证明至少存在一点，使得。（提示：将要证关系式中的换为，并作恒等变形得，两边积分后得故可作出辅助函数，对已知条件使用积分中值定理，然后对辅助函

7、数应用罗尔定理即可。）例9、设在内上连续，在内可导，且，但当时，，求证对任意自然数，在内存在，使。（提示：将所证结论中改为，两边积分后，可作出辅助函数）。例10、设在上可导，且同号，证明：至少存在一点，使。（提示：令，注意到同号，故用柯西中值定理）。例11、设在内上连续，在内可导，且，证明：（1）存在，使；（2）对任意自然数，必存在，使（提示：(1)直接用介值定理即可；（2）令利用罗尔定理）例12、假设函数和在存在二阶导数，并且，试证：（1）在开区间内；（2）在开区间内至少存在一点，使。（提示：对等式积分可令辅助函数为。再利用罗尔

8、定理即可）题型四双介值问题，要证存在两个中值满足某种关系的命题解题提示：先用一次中值定理转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、设在上连续，在内可导，且，试证：存在，使得（提示：将要证结论改写为即证。令，对其应用拉格