《分析方法选讲》word版

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1、分析方法选讲论文题目：定积分计算的总结学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学号：090501401069姓名：范梅梅定积分计算的总结摘要：定积分这一节的内容在整个教材中占着很重要的地位，它不仅是我们作为一个数学专业必须掌握的内容，而且也是其他专业的学生必须掌握的知识，正因为有了它的计算，很多问题就会迎刃而解，特别实在物理学中积分的运算解决了很多问题，所以它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分

2、学中的一个重要组成部分.而在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.正文在我们开始接触定积分时，书上给出两个实例来引出，一是曲边梯形的面积，二是物体运动的路程，尽管它们的实际意义完全不同，但是从抽象的数量关系来看，它们的分析结构完全相同，都是函数在区间上具有特定结构和式的极限。那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数在有定义，任给一个分法T和一组，有积分和，若当时，积分和存在有限极限，设，且数与

3、分法T无关，也与在的取法无关，即有，则称函数在可积，是函数在的定积分，记为.其中，a与b分别是定积分的下限与上限；是被积函数；是被积表达式；x是积分变量.若当时，积分和不存在极限，则称函数在不可积.定积分的几何意义也就是表示x轴，，与围成的曲边梯形的面积.但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：1、函数在闭区间连续,则函数在闭区间可积.2、函数在闭区间有界,且有有限个间断点,则函数在闭区间可积.3、若函数在闭区间单调,则函数在闭区间可积.在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.一、按

4、照定义计算定积分.定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以为例：任意分割,任意选取作积分和再取极限.任意分割任意取所计算出的I值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作的特殊分法，选取特殊的，计算出定积分.第一步：分割.将区间分成n个小区间，

5、一般情况下采取等分的形式.，那么分割点的坐标为，，......，，在上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是.第三步：取极限.，即，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.例1用定义法求定积分.解：因为在连续所以在可积令将等分成n个小区间，分点的坐标依次为取是小区间的右端点，即于是所以，二

6、、微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数在区间内必须连续。求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.定理:若函数在区间连续，且是的原函数，则.证明：因为是的原函数，即有积分上限函数也是的原函数所以所以令有即再令有我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有

7、着重大的意义.例2用牛顿莱布尼茨公式计算定积分（1）.解：原式=(2).解：已知=，有==–=同样的一道题目，有了牛顿-莱布尼茨公式，只需求出f(x)的一个原函数，然后按照公式，求连续函数的定积分问题就转化为求被积函数的原函数明显比定义法简单，容易计算.三、定积分的分部积分法公式：函数，在有连续导数，则证明：因为，在有连续导函数所以所以即或例3求定积分.解：四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下

8、限，这样可以简化计算.定理：若函数在区间连续，且函数在有连续导数，当时，有则：证明：即这个公式有两种用法：（1）若计算.选