2014高考数学 基础+方法全解 第16讲 三角函数的图像和性质的“磨合”（含解析）

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1、2014高考数学基础+方法全解第16讲三角函数的图像和性质的“磨合”（含解析）考纲要求:1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.会用三角函数解决一些简单实际问题.基础知识回顾:1．五点法作图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．y＝Asin(ωx＋φ)介绍当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，

2、x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．【注】函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))的最小正周期为。4．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中

3、心对称图形．应用举例:【2013山东理】将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）（A）（B）（C）（D）【2013四川文】函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）（A）（B）（C）（D）变式训练:【变式1】设函数.（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）【变式2】设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.故在区间上的最大值和最小值分别为，.方法、规律归纳:1、三角函数的图象及变换(1)平移变

4、换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变).2、求函数的解析式根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y＝Asin(ωx

5、＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.实战演练:1、将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)A．y＝sin　　　　　B．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin【答案】C；【解析】将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，然后将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin的图象，选C.2、已知函数f(x)＝2acos2x＋asin2x＋a2(a∈R，a≠0为常数)．(1)若x∈R，求f(

6、x)的最小正周期；(2)若x∈R时，f(x)的最大值等于4，求a的值．3、已知函数y＝2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．(3)方法一（先平移后伸缩）：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的4、已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，

7、φ

8、＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．5、已知向量,函数的最大值为6.(Ⅰ)求;(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图

9、象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.