专题3导数与其应用

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1、专题三导数与其应用一、考试内容导数概念及其几何意义导数及其应用二、考试要求（1）理解导数概念及其几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.。（2）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.。（3）会利用导数解决实际问题。三、命题热点分析近几年的高考试题，导数

2、这一知识点是高考的必考内容，对导数的考查主要是有三个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有导数试题，而且常考常新.以函数、不等式、方程等联系

3、在一起以解答题的形式进行考查是高考命题的新趋势。四、知识回顾导数及应用导数的概念及几何意义导数及应用导数的运算导数及应用导数的应用导数及应用（一）导数的概念及几何意义（1）平均变化率一般地，函数是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子表示，这个式子称，函数平均变化率，记为=（2）曲线的切线18切线的斜率:,切线的方程为：（4）导数的概念一般地，函数处的瞬间变化率是，称它为处的导数，记为，即（5）导数的几何意义处的导数的几何意义是：曲线的切线的斜率。（二）导数的运算（1）常见基本初等函数的导数公式　(C为常数)；,n∈N

4、+；；;;;;.（a>0,且a≠1）（2）导数的运算法则　　法则1 　．　　法则2   .　　法则3    .（3）复合函数的求导①一般地，由几个函数复合而成的函数，称为复合函数。由②则（三）导数应用（1）函数单调性的判断18设函数在某个区间内可导，①如果，那么在这个区间内单调递增；②如果，那么在这个区间内单调递减；③如果，那么在这个区间内是常数。（2）求函数的单调区间对可导函数的求单调区间的步骤：①求的定义域②求出③令，求出全部驻点（补充定义：若函数在点处的导数，则称点为函数的驻点。）④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这

5、几个区间内的符号，就可确定的单调区间。（3）利用导数判断函数单调性的应用①证明不等式②研究方程根的个数③求参数的值（或取值范围）④求函数的值域（4）函数的极值①函数的极值设函数附近有定义：ⅰ）如果对附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值。记作：ⅱ）如果对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值。记作：②求导函数极值的步骤，设ⅰ）求导数ⅱ）求方程的所有实数根ⅲ）检查在方程左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取极大值，如果左负右正，那么在这个根处取极小值。如果如果左正同号，那么在这个根处没有极值。特别注意：无意义的点也要

6、讨论，即可先求出的根和无意义的点，这些点都称可疑点，再用定义去判断。（6）函数的最大值与最小值18①函数的最大值与最小值一般地，在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值，在开区间连续函数不一定有最大值与最小值。②求函数的最大值与最小值的步骤设函数在闭区间上连续，在开区间可导，那么求函数在闭区间上的最最大值与最小值的步骤：ⅰ）求在开区间内的极值，ⅱ）将的各极值与比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。（8）生活中的优化问题五、典型例题1、曲线在点处的切线方程（B）A.B.C.D.　解析：，切点坐标为（1，1）2、2010全国卷Ⅰ

7、理）已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案B解:设切点，则,又.故答案选B3.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.答案B解,故切线方程为,即故选B.184．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.解析由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1（图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2（分离变量法）上述也

8、可等价于方程在内有解，显然可得5．（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能