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1、§1~3二次函數的最大值與最小值壹、補充重點(1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表：名稱已知條件結論最大值的應用À自然數N分成兩數x，y當x=y=時，x與y的乘積最大最大乘積=Á定長m圍成一矩形時以正方形面積為最大，其邊長為最大面積=最小值的應用À自然數N分成兩數x，y當x=y=時，x與y的平方和最小最小平方和=Á定長m分成兩線段a，b分別為邊各作一正方形當a=b=時，兩正方形面積和為最小最小面積和=Â兩正數之積為定值k時(xy=k，x>0，y>0)當x=y=時，x+y的和最小最小的和：x+y=
2、2=2Ã設矩形的長，寬分別為x，y，若其面積一定時當x=y時，矩形周長為最小最小的周長=4(2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值：函數y=f(x)À若頂點位於範圍a£x£b內時，圖形如下：xyo(α,f(α))(m,n)(β,f(β))xyo(m,n)(α,f(α))(β,f(β))若頂點為(m,n)而圖形二端點為(a,f(a))，(b,f(b))，則n，f(a)，f(b)三者中À較小者為最小值，Á較大者為最大值。xyo(α,f(α))(β,f(β))Á若頂點不位於範圍a£x£b內時，圖
3、形如下：31xyo(β,f(β))(α,f(α))圖形二端點為(a,f(a))，(b,f(b))，則f(a)，f(b)二者中À較小者為最小值，Á較大者為最大值。(3)最大值與最小值的求法，除可利用二次函數來求外，尚可利用下列的方法：À利用Ü(算術平均數)³(幾何平均數)例：二正數x，y，若xy=24，求2x+3y之最小值。∵Ü2x+3y∴2x+3y³2=24故最小值為24Á利用∣a∣+∣b∣³∣a+b∣例：設x為實數，求∣x+2∣+∣x-5∣之最小值。∵∣x+2∣+∣x-5∣=∣x+2∣+∣5-x
4、∣³∣(x+2)+(5-x)∣=7∴∣x+2∣+∣x-5∣³7故最小值為7Â利用一元二次方程式D³0例：設k為實數，方程式x2-(k-1)x+(k2-1)=0有實根，求k之最大值與最小值。∵方程式有實根∴D³0[-(k-1)]2-4×1×(k2-1)³0(k-1)(k-1-4k-4)³0(k-1)(3k+5)£0∴1³k³-，故k之最大值為1，最小值為-。Ã31分式型：當分子為定值，分母最大時分式的值為最小；分母最小時分式的值為最大。例：設x為實數，求y=之最大值。∵x2+2x+4=(x2+2x+
5、1)+3=(x+1)2+3³3∴當x=-1時，x2+2x+4有最小值3，此時y有最大值=4。Ä利用配方例：設x，y為實數，A=x2+y2+4x-6y+20，求A之最小值。∵A=x2+y2+4x-6y+20=(x2+4x+4)+(y2-6y+9)+7=(x+2)2+(y-3)2+7³7∴A之最小值7。貳、例題31例1.y=2x2+2x-3，試求此二次函數之最小值？【答：】解：例2.二次函數y=-3x2+ax+b，當x=3時，有最大值4，則a=？b=？解：【答：18、-23】例3.二次函數y=ax2+
6、bx+c，當x=3時，有最小值-2，且圖形通過(0，7)，則a=？b=？c=？【答：1、-6、7】解：例4.二次函數y=x2-6x+10，當1時，試求y31之最大值與最小值？【答：5、1】解：例5.二次函數y=x2-2x+4，當2時，試求y之最大值與最小值？【答：7、4】解：例6.x為正整數，則二次函數y=2x2-5x+10之最小值為？【答：7】解：例7.晴晴向上拋擲一球，經t秒後距離地面s公尺，且有s=30t-5t231之關係式，試問此球擲出後，距離地面最高可達多少公尺？解：【答：45公尺】例8
7、.A、B為數線上兩點，座標分別為7、2，試在座標上求一點P，使得為最小？【答：】解：例9.設a：b=1：2且b：c=3：4，試求ab-bc+ac+c之最大值？解：【答：】例10.31某人以長100公尺的鐵絲網，在河邊圍一長方形之菜園，河邊當作一直線不圍，試求所能圍成的最大菜園面積？解：【答：1250平方公尺】例11.x>0、y>0，2x+y=6，試求xy之最大值？【答：】解：例12.a>0、b>0，試求之最小值？【答：2】解：例13.y=
8、x-4
9、+
10、x-3
11、，試求y之最小值？【答：1】31解：例
12、14.y=
13、x
14、+
15、x-1
16、+
17、x-2
18、，試求y之最小值？【答：2】解：例15.y=
19、x-1
20、+2
21、x-2
22、+3
23、x-3
24、，試求y之最小值？【答：4】解：例16.y=2x2+3mx+2m之最小值為M，則M之最大值為？【答：】31解：參、習題311.二次函數y=(a-1)x2+5x+a2的圖形通過(-1，0)，(1)當函數有最大值時，則a=？(2)當函數有最小值時，則a=？解：2.二次函數y=ax2+12x+b在x=時有最小值10，則a=？b=？解：3.f(x)=ax2+bx+2，若
